机器算法验证 - 从两个正态随机变量的平方和得出指数分布 - 吾爱随笔录 - 问答

从两个正态随机变量的平方和得出指数分布

机器算法验证正态分布密度函数伽马分布指数分布卡方分布

2022-03-21 10:37:32

设 ,和的独立随机变量。我想根据和 pdf 证明具有指数分布。 $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,1/2)$ $Z = X^2 + Y^2$ $X$ $Y$ $Z$

2个回答

和的联合pdf，切换到极坐标，然后现在如果我们设置那么我们得到 $X$ $Y$

P (Z \leq z) = P (X^{2} + Y^{2} \leq z) = \frac{1}{π} \int_{x^{2} + y^{2} \leq z} e^{- x^{2} + y^{2}} d x d y = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{z}} e^{- r^{2}} r d r d θ

$\mathbb{P}(Z\leq z)=\mathbb{P}(X^2+Y^2\leq z)=\frac{1}{\pi}\int_{x^2+y^2\leq z}e^{-x^2+y^2}\;dxdy=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\sqrt{z}}e^{-r^2}r\;drd\theta$

= 2 \int_{0}^{\sqrt{z}} r e^{- r^{2}} d r

$=2\int_0^{\sqrt{z}}re^{-r^2}\;dr$

u = r^{2}

$u=r^2$

P (Z \leq z) = \int_{0}^{z} e^{- u} d u

$\mathbb{P}(Z\leq z)=\int_0^ze^{-u}\;du$

所以以速率参数呈指数分布。 $Z$ $\lambda = 1$

Z 具有自由度数的卡方分布，使其成为指数的特例。X 和 Y 必须是独立的。

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