delta 方法在这里非常有用。使用关于平均值的一阶泰勒级数近似$X$

• $E[\log(X)] \approx \log(E[X])$
• $V[\log(X)] \approx E[X]^{-2}\text{V}[X]$.

这与方差稳定的思想有关；如果回归中的因变量具有与均方成正比的方差，则取该因变量的对数会产生具有恒定方差的东西，这通常是理想或必要的假设。

评论对数正态分布和正态分布。

当您记录值时，数据的方差往往会减小。也许最常见的情况是，如果$X_1$是对数正态的，那么$X_2 = \ln(X_1)$是正常的，它的方差小于$X_.1$此外，如果它存在，$X_3 = \ln(X_2)$可能有更小的方差。

下面我们从一个随机样本（使用 R）开始$n = 10^4$来自带参数的对数正态分布的观察值$\mu = 50, \sigma = 2.$（习惯上使用与相关正态分布的参数匹配的对数正态参数。有关详细信息，您可以查看维基百科的“对数正态分布”。）我们显示了分布的均值和标准差$X_1, X_2,$和$X_3.$

set.seed(720); n = 10^4
x2 = rnorm(n, 50, 2);  x1 = exp(x2);  x3 = log(x2)
mean(x1); mean(x2); mean(x3)
[1] 3.686093e+22
[1] 50.01289         # aprx E(X2) = 50
[1] 3.911481
sd(x1); sd(x2); sd(x3)
[1] 2.308712e+23
[1] 1.997261         # aprx SD(X2) = 2
[1] 0.04004551

然后我们显示三个样本的直方图。在左边，请注意很难制作一个信息丰富的直方图$X_1$因为它严重向右倾斜。在中心面板中，我们覆盖了密度函数$\mathsf{Norm}(\mu =50, \sigma=2);$这是对称的。在右侧，请注意再次获取（自然）日志会导致略微左偏的分布。

注：（1）对数正态分布的支持度为$(0, \infty).$ 正态分布可能取负值。如果对数正态分布被截断为$(1, \infty)$使得正态分布被截断为$(0,\infty),$那么存在该“正态”分布的自然对数。分布$\mathsf{Norm}(50, 2)$下面几乎没有概率$0,$所以在这个例子中截断几乎没有实际效果。

(2)上图的R代码：

par(mfrow=c(1,3))
hist(x1, prob=T, br=50, col="skyblue2")
hist(x2, prob=T, col="skyblue2")
  curve(dnorm(x,50,2), add=T, col="red")
hist(x3, prob=T, col="skyblue2")
par(mfrow=c(1,1)) 

(3) 但是，取对数会产生较小的方差并不总是正确的。如果$X_2 \sim \mathsf{Unif}(0,1),\, X_1 = e^{X_2},$和 $X_3 = \ln(X_2),$然后与对数正态示例代码类似的 R 代码给出以下结果：

set.seed(720); n = 10^5
x2 = runif(n);  x1 = exp(x2);  x3 = log(x2)
var(x1); var(x2); var(x3)
[1] 0.2411124
[1] 0.08316279  # aprx V(X2) = 1/12
[1] 1.01091