$$\text{Var}(y_t)=\text{Var}(\phi y_{t-1}) + \text{Var}(\varepsilon_{t}).$$ 我们知道，$E(\varepsilon_{t}^2)=\sigma^2$。那么我们有： $$\text{Var}(y_t)=\text{Var}(\phi y_{t-1}) + \sigma^2.$$ 现在使用方差属性，我们从方差中取出$\phi$： $$\text{Var}(y_t)=\phi^2\text{Var}(y_{t-1}) + \sigma^2.$$ 鉴于$\text{Var}(y_t)=\text{Var}(y_{t-1})$我们求解得到： $$\text{Var}(y)=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}.$$

$$y_t = \varepsilon_{t} +\phi y_{t-1}= \varepsilon_{t} +\phi (\varepsilon_{t-1} +\phi y_{t-2}) = \sum_{j=0}^{\infty}\phi^j \varepsilon_{t-j},$$ 如果，则 $|\phi|<1$ $$\text{Var}(y_t) = \sum_{j=0}^{\infty}(\phi^j)^2 \text{Var}(\varepsilon_{t-j})=\sigma^2 (1+\phi^2+\phi^4+\dots) = \sigma^2\frac{1-\lim_{n \rightarrow \infty} \phi^{2n}}{1-\phi^2} = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}.$$

PS 从这里，我们可以得出结论不是时间的函数。$\text{Var}(y_t)$