从数值角度对 SDE 的最佳介绍是Higham 的这篇论文。它可能会为您提供三个问题的近似答案。

a) 在金融领域，资产的定价不是基于准确了解其现金流量。此外，它们的定价也不是基于了解其预期现金流量。理想情况下，您需要了解未来价格的整体分布。它通常表示为一对“风险回报”。风险部分是关于回报的量化不确定性。这就是为什么随机微积分似乎如此适合金融应用的原因，正是因为它似乎捕捉到了我们对资产未来现金流不确定性的理解。

抽样将代表可能的现金流路径。每一条道路都是对未来的可能实现。在蒙特卡洛方法中，您明确地对路径进行采样，并获得现金流的分布，这使您可以对资产进行定价。

但是，在某些条件下，您可以将 SDE 制定和求解为偏微分方程 (PDE) - 非随机的。这就是 Merton 对 Black-Scholes (BS) PDE 方法所做的：他将它们与 SDE 联系起来。原始 BS 论文将期权定价问题表述为物理学中的传热方程。

在期权价格的BS 方程中，您可以看到有 5 个输入：资产价格、波动率、执行价格、无风险回报和到期时间。甚至在 BS 方程之前，这些都被认为是期权价格的决定因素。这就是为什么论文一出来，从业者就明白了。请注意，现在与资产的未来价格无关。关于未来价格的唯一信息是波动性，它代表了未来的不确定性。

因此，直观地说，BS 方程所做的是将期权价格表示为未来价格分布的函数，即其标准差。这就是 SDE 的使用方式：你通过未来结果的分布来表达你的价格，如果你幸运的话，你的解决方案将有一些简单的东西，比如标准偏差。

b) Monte Carlo 用的比较多，但是就像我上面写的，如果你能把问题转化为 PDE，那么各种方法比如有限元都可以用。

c) 我不确定是否有这样的书，即用测度论计算。如果你是数学家，我可以推荐我使用的那个：Shreve 的文章“Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models”。虽然它没有附带软件，但它非常理论化，如果你数学不强，可能不适合你。

更新我想在 a) 中添加一个物理示例。看扩散过程。您可以将单个原子的路径视为 SDE 中的单个路径，可能在其蒙特卡洛采样中。这是完全不可预测的。然而，当你观察大量原子的扩散时，扩散过程在宏观层面上一种材料进入另一种材料的速度是非常可预测的。

a) 如果解决方案由于维纳过程的随机性而总是不同的，那么模拟 SDE 的意义何在？我一直在模拟几何布朗运动，并读到它用于金融中的 Black-Scholes 模型，那么他们如何根据 SDE 对股票进行实际定价？

Black-Scholes 模型用于评估股票期权的价格（假设标的股票遵循几何布朗运动）。就概率论而言，该想法是期权价格是期权到期日股票价格函数的（折现）预期（截至今天）。因此，您正在对所有路径进行平均。

预期是在所谓的风险中性度量下——这个想法是为了避免套利[基本上对同一金融产品有两个价格]——所有赌注（期权和其他 [金融] 衍生品）都在股票的未来价值上price 必须可以表示为相对于单个定价度量的预期，该度量与实际度量绝对连续[同意哪些状态是不可能的]。如果您考虑到期时股票价格的 pdf，$S_T$, 那么定价度量中的 pdf 就是今天收到一美元的价格$T$对于当时的每个股票价值$T$.

b) 在确定 SDE 中的系数以将其校准为数据时使用了哪些方法？AFAIK，您甚至无法估计“高斯”SDE 的漂移$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$，而扩散项很容易。但是，漂移项与漂移项（用于定价度量）设置为无风险利率的期权定价无关。扩散项（$\sigma$)，另一方面，决定了可能的定价措施，因此它应该与历史估计相结合......[但事情变得复杂]

c) 对于随机微积分的非常实用和计算方法以及测度论速成课程，什么是好的教科书？

尽管我认为将处理无限维空间[即时间维度]的理论问题与计算结合起来是一个不错的主意，但我认为您不会找到采用这种方法的书。

您可能想阅读Baxter 和 rennie 的书《金融微积分》中庄家的寓言，以了解套利定价以及如何在衍生品定价中使用概率。

1. “如果解决方案由于随机性而总是不同的，那么对随机变量进行抽样有什么意义......”？当您模拟 SDE（或任何一般的随机过程）时，您正在从样本路径的某个分布中进行抽样。（更准确地说，在无限维空间上定义的概率测度——例如，维纳测度定义在$C[0, \infty)$）。

2. 在您引用的 GBM 案例中，参数估计简化为经典参数模型。一般来说，请参阅Liptser 和 Shiryaev的《随机过程统计 I 》作为初学者。

3. 随机微分方程： Øksendal 的应用介绍有 6 个版本。你不会错的。