机器算法验证 - Ornstein-Uhlenbeck 过程之间的相关性 - 吾爱随笔录

考虑 Ornstein-Uhlenbeck 过程，其演化如下：其中是均值回归率，是色散率，是标准布朗运动。请注意，这是一个零均值 OU 过程。现在考虑一个新变量，它是和几何布朗运动的函数：其中和如下： $U(t)$

d U (t) = - θ U (t) d t + σ d W (t),

$\mathrm{d}U(t) = -\theta U(t) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W(t),$

θ \in (0, 2)

$\theta \in (0,2)$

σ > 0

$\sigma >0$

{W (t) | t \geq 0}

$\{W(t)|t\geq0\}$

V (t)

$V(t)$

U (t)

$U(t)$

X (t)

$X(t)$

V (t) = \ln [\frac{X (t) + U (t)}{X (t)}],

$V(t) = \ln{\left[\frac{X(t) + U(t)}{X(t)}\right]},$

{X (t), X (t) + U (t) > 0 | t \geq 0}

$\{X(t),X(t)+U(t)>0|t\geq0\}$

X (t)

$X(t)$

d X (t) = μ X (t) d t + η X (t) d Z (t),

$\mathrm{d}X(t) = \mu X(t) \mathrm{d}t + \eta X(t) \mathrm{d}Z(t),$ 其中是漂移和色散率，并且的标准布朗运动。

μ, η > 0

$\mu, \eta >0$

{Z (t) | t \geq 0}

$\{Z(t)|t\geq0\}$

W (t)

$W(t)$

是否有可能证明和完全正相关？或者，更重要的是，是否有可能确定它们完全正相关的条件？模拟表明，两者几乎完全相关，但我缺乏正式的证明。 $U(t)$ $V(t)$