机器算法验证 - 边际密度X1X1鉴于X1+X2= dX1+X2=d在哪里X1X1和X2X2是 iid Weibull 吗？ - 吾爱随笔录

边际密度X1X1鉴于X1+X2= dX1+X2=d在哪里X1X1和X2X2是 iid Weibull 吗？

机器算法验证数理统计条件概率边际分布威布尔分布

2022-03-23 19:20:39

在他们关于重尾分布的教程（第 23 页）中，Nair 等人。展示下图（取自同一作者的一本书的出版前章节）：

图为边际密度 $X_1$ 鉴于 $X_1 + X_2 = 10$ ，在哪里 $X_1$ 和 $X_2$ 是 iid Weibull 房车（形状为 2 或 0.5，作者未提供比例尺）。

不幸的是，我无法重现作者如何计算边际密度。根据我的互联网搜索，Weibull 变量的总和通常很难计算（参见Nadarajah S (2008)）。

因此，我的问题是：有人能说明作者是如何计算边际密度的吗？ $X_1$ ，鉴于 $X_1 + X_2 = d$ ?

编辑：非常感谢@CarlosCampos 的解决方案和插图。我将他的 Matlab 代码移植到 R（在下面添加）。

library(RColorBrewer)

k <- 0.5
lambda <- 1
d <- 10

eps <- 0.001
vX <- seq(eps, d-eps, eps)
vK <- seq(0.4, 2, 0.4)

cols <- brewer.pal(length(vK), name = "Set1")

png("weibull_marginal.png", width = 7*1.1, height = 5*1.1, units = "in", res = 600, type = "cairo-png")
par(cex = 1.2, mar=c(2,2.1,0,0)+0.1)
plot(x = vX, y = rep(1, length(vX)), las = 1, type = "n", xlab = "", ylab = "", xlim = c(0, d), ylim = c(0, 1))
abline(h = 0)
for(i in seq_along(vK)) {

  k <- vK[i]
  p_x1_x2 <- (k/lambda)^2*(vX*(d - vX)/(lambda^2))^(k - 1)*exp(-(vX^k + (d - vX)^k)/lambda^k)
  aux <- sum(p_x1_x2*eps)
  p_x1_x2_norm <- p_x1_x2/aux
  lines(p_x1_x2_norm~vX, col = cols[i], lwd = 2)

}
par(cex = 1)
legend(x=8, y=1.03, legend = vK, col = cols, lwd = 2, box.lwd = 0, box.col = "white", bg = "white")
dev.off()

1个回答

让我们应用贝叶斯定理：

f (X_{1} | X_{1} + X_{2} = d) = \frac{f (X_{1} + X_{2} = d | X_{1}) f (X_{1})}{f (X_{1} + X_{2} = d)} = c t e \cdot f (X_{2} = d - X_{1}) f (X_{1})

$f(X_1 \vert X_1+X_2 = d) = \frac{f(X_1+X_2 = d \vert X_1)f(X_1)}{f(X_1+X_2 = d)} = cte \cdot f(X_2=d-X_1)f(X_1)$ 代入 Weibull 分布的表达式：

f (X_{1} | X_{1} + X_{2} = d) = c t e \cdot (\frac{k}{λ}) {(\frac{d - x_{1}}{λ})}^{k - 1} e^{((d - x_{1}) / λ)^{k}} (\frac{k}{λ}) {(\frac{x_{1}}{λ})}^{k - 1} e^{(x_{1} / λ)^{k}}

$f(X_1 \vert X_1+X_2 = d) = cte \cdot \left(\frac{k}{\lambda}\right) \left(\frac{d-x_1}{\lambda}\right)^{k-1} e^{((d-x_1)/\lambda)^k}\left(\frac{k}{\lambda}\right) \left(\frac{x_1}{\lambda}\right)^{k-1} e^{(x_1/\lambda)^k}$ 为了

0 < x_{1} < d

$0<x_1<d$ ，否则

f (x) = 0

$f(x)=0$ 在哪里

c t e

$cte$ 可以很容易地评估。我提供了一个 .m 代码来生成该图形。

.m 中的代码：

k = 0.5;
lambda = 1;
d = 10 

eps = 0.1;
vX = eps:eps:d-eps;

vK = 0.4:0.4:2;

figure(1)
for i=1:length(vK)
  k=vK(i);
  p_x1_x2 = (k/lambda)^2*(vX.*(d-vX)/(lambda^2)).^(k-1).*exp(-(vX.^k+(d-vX).^k)/lambda^k);
  aux = sum(p_x1_x2*eps);
  plot(vX, p_x1_x2/aux)
  hold on;
end;

要获得更准确的图形结果，请减小 eps 的值

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