机器算法验证 - 泊松作为负二项式的极限情况 - 吾爱随笔录

我正在阅读 Walter W. Pieogorsch 的“负二项式色散参数的最大似然估计”，在介绍中它说泊松分布是当色散参数时负二项式分布的极限情况 $a$ 归零：

l i m_{a \to 0} P r (Y = y) = \frac{Γ (y + a^{- 1})}{y! Γ (a^{- 1})} (\frac{a u}{1 + a u})^{y} (1 + a u)^{- 1 / a} = \frac{μ^{y} e^{- u}}{y!}

$lim_{a\to0}Pr(Y=y)={ \Gamma(y+a^{-1})\over y!\Gamma(a^{-1})}({au\over 1+au})^y(1+au)^{-1/a} = {\mu^ye^{-u} \over y! }$

我试图计算出数学，我可以看到 $y!$ 保持不变

l i m_{a \to 0} (1 + a u)^{- 1 / a} = e^{- u}

$lim_{a\to0}(1+au)^{-1/a}=e^{-u}$

但我看不到如何

l i m_{a \to 0} \frac{Γ (y + a^{- 1})}{Γ (a^{- 1})} (\frac{a u}{1 + a u})^{y} = μ^{y}

$lim_{a\to0}{ \Gamma(y+a^{-1})\over\Gamma(a^{-1})}({au\over 1+au})^y = \mu^y$ 这怎么可能？