从结果来看，上下文似乎隐含地假设的分布在正交变换下是不变的：$x$我称之为球对称分布。

（有很多球对称分布。从中的任何分布开始，将定义为在旋转和反射的正交组的值关于原点。平均值的存在是因为是紧凑的并且连续作用。下是不变的。特别是，平均值的正态分布 , 对角方差矩阵, 等方差是球面的。)$F$$\mathbb{R}^n$$\tilde F$$F$$O(n)$$O(n)$$\tilde F$$O(n)$$(0,0,\ldots,0)$

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任何单位向量都可以扩展到正交框架是一个（简单且几何上显而易见的）代数结果。因为分布是球对称的，并且任何元素都可以旋转到任何其他元素，所以坐标都具有相同的分布。令的共同期望值。$v$ $(v=v_1, v_2, \ldots, v_n)$$v_i$$v_j$$x\cdot v_i$$\mu_2$$(x\cdot v_i)^2$

由于被假定为单位向量，$x$

$$1 = 1^2 = x\cdot x = \sum_i (x\cdot v_i)^2.$$

取双方的期望，用期望的线性来计算

$$1 = \mathbb{E}(1) = \mathbb{E}(x\cdot x) = \mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^n (x\cdot v_i)^2\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}((x\cdot v_i)^2) = \sum_{i=1}^n \mu_2 = n\mu_2,$$

暗示。$1/n = \mu_2 = \mathbb E ((x\cdot v)^2)$