机器算法验证 - 如果一个分布具有未定义/无限矩，则混合分布矩 - 吾爱随笔录 - 问答

如果一个分布具有未定义/无限矩，则混合分布矩

机器算法验证混合分布时刻

2022-04-06 20:15:41

考虑概率密度函数和以及混合分布假设与相关的矩都已明确定义，但的矩不一定是（例如柯西或利维分布）。 $f_{1}\left(x\right)$ $f_{2}\left(x\right)$

f_{3} (x) \equiv p f_{1} (x) + (1 - p) f_{2} (x)

$f_{3}\left(x\right)\equiv pf_{1}\left(x\right)+\left(1-p\right)f_{2}\left(x\right)$

f_{1} (x)

$f_{1}\left(x\right)$

f_{2} (x)

$f_{2}\left(x\right)$

要计算期望值，可以找到大概如果是无限的或未定义的，那么期望值仅在时存在。

\int_{- \infty}^{\infty} x f_{3} (x) d x = p \int_{- \infty}^{\infty} x f_{1} (x) d x + (1 - p) \int_{- \infty}^{\infty} x f_{2} (x) d x

$\int_{-\infty}^{\infty}xf_{3}\left(x\right)dx=p\int_{-\infty}^{\infty}xf_{1}\left(x\right)dx+\left(1-p\right)\int_{-\infty}^{\infty}xf_{2}\left(x\right)dx$

\int_{- \infty}^{\infty} x f_{2} (x) d x

$\int_{-\infty}^{\infty}xf_{2}\left(x\right)dx$

p = 1

$p=1$

这个逻辑是否正确，即使接近但小于？它是否也延伸到更高的时刻？ $p$ $1$

1个回答

是的，你是对的。如果，和，那么你的方程表明因此，如果任何一个或在非有限/不，也将是非有限/不存在的- 即使是非常接近或。 $X_1 \sim f_1$ $X_2 \sim f_2$ $X_3 \sim f_3$

E (X_{3}) = p \cdot E (X_{1}) + (1 - p) \cdot E (X_{2})

$E(X_3) = p \cdot E(X_1) + (1-p) \cdot E(X_2)$

E (X_{1})

$E(X_1)$

E (X_{2})

$E(X_2)$

E (X_{3})

$E(X_3)$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

p

$p$

0

$0$

1

$1$

为了对此有一些直觉，请注意混合分布可以被认为是来自概率和概率的绘图。考虑到这一点，举一个例子，其中是标准正态的倒数密度（具有无限均值的分布），是标准正态密度，是一些非常小的值（比如）。考虑具有密度的采样变量-从中，会有一些具有非有限均值分布的极值特征。 $f_1$ $p$ $f_2$ $1-p$ $f_1$ $f_2$ $p$ $.01$ $f_3$ $1\%$ $f_1$

你也是正确的，同样的逻辑也适用于更高的时刻——在你的积分中用，你可以做出一个完全类似的论点。它变得更复杂的地方是，例如，两个积分都是非有限的，但这似乎超出了问题的范围:) $x$ $x^k$

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