通过拟合 lm 对象，您可以获得执行此操作所需的所有组件。从数学上讲，您有估计：

$$\hat{\beta} = \left( \mathbf{X}^T\mathbf{X} \right) ^{-1} \left( \mathbf{X}^T y \right)$$

和估计：

$$\mbox{vcov}\left(\hat{\beta} \right) = \hat{\sigma}^2 \left( \mathbf{X}^T\mathbf{X} \right) ^{-1}$$

贝塔帽是通过调用对象和方差估计coef来获得的。lmvcovlm

在数学上，对于任何观察，您希望预测拟合那么由于由下式给出：它是简单的数学运算发现：$\mathbf{X}_{pred}$$\hat{Y} = E \left[ Y | \mathbf{X} = \mathbf{X}_{pred} \right]$$\hat{Y}$$\mathbf{X}_{pred}^T \hat{\beta}$

$$\mbox{var} \left( \hat{Y} \right) = \mathbf{X}_{pred}^T \mbox{vcov}\left(\hat{\beta} \right) \mathbf{X}_{pred} = \hat{\sigma}^2 \mathbf{X}_{pred}^T \left( \mathbf{X}^T\mathbf{X} \right) ^{-1} \mathbf{X}_{pred}$$

这是一个简单的二次形式规则，即离每个协变量的样本均值越远（在欧几里德意义上），将是，因此的方差越大。$\mathbf{X}_{pred}$$\left( \mathbf{X}_{pred}^T\mathbf{X}_{pred} \right)$$\hat{Y}$

的叉积的函数而不同。R 中的一个说明性示例，因为您似乎对理论和计算方面都感兴趣......$X$

x <- 1:100
y <- rnorm(100, x, 100)
plot(x, y)
f <- lm(y ~ x)
X <- model.matrix(f)
pred.se <- apply(X, 1, function(Xrow) t(Xrow) %*% vcov(f) %*% Xrow)
lines(1:100, 1:100 + 1.96*sqrt(pred.se))
lines(1:100, 1:100 - 1.96*sqrt(pred.se))
## "conf band is for uncertainty in predicted ys, should be substantially 
## tighter than observed vales

我们有 然后

$$\hat{\beta}\pm t_{\alpha/2,n-2} \sqrt{\frac{MSE}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}$$

  l=lm(y~x)
  MSE=mean ( (l$residuals)^2) 
      SSX=sum ( (x-mean(x))^2 )
      U= l$coefficients + qt(1-alpha/2,n-2) * sqrt(MSE/SSX)
  L= l$coefficients - qt(1-alpha/2,n-2) * sqrt(MSE/SSX)