机器算法验证 - 的渐近分布χ2(一)χ(1)2 - 吾爱随笔录

的渐近分布χ2(一)χ(1)2

机器算法验证可能性渐近的极值卡方分布

2022-04-08 12:35:46

让 $z_1,\dots,z_n$ 独立同居 $\chi^2$ 和 $k$ 自由度（既不是 $n$ 或者 $k$ 是固定的）。有什么关于分布的信息吗 $\min_i(z_i)$ 渐近地，当说 $n/k\to C\in(0,\infty)$ ? 对于最大值，我们可以将其与渐近设置中的 Gumbel 分布联系起来，但最小值似乎更难以捉摸。

编辑：正如我所指出的，中间范围存在问题正是因为我们不能轻易利用中心极限定理。例如，请参阅有关max 的这篇论文。

1个回答

如果你想要一组非相同分布的卡方（每个都有不同的自由度参数）的最小值的限制分布，那么这个线程，Order statistics (eg, minimum) of infinite collection of chi-平方变量？我相信回答的正是这个问题。

如果你想看看最小值的分布会发生什么 $n$ 同分布的卡方，因为样本大小和它们的共同自由度参数都趋于无穷大，那么我必须提供以下说明：

那么假设 $n/k \rightarrow 0$ . 众所周知，作为 $k$ 增加标准化卡方接近标准正态分布。因为在这种情况下 $k$ “比 $n$ ", "at" infinity 它的标准化版本是标准正态分布，它的最小值应该遵循正态分布的最小值：使用 David & Nagarajah 的符号，CDF 是

G_{3}^{*} (x) = 1 - \exp {- e^{x}}, - \infty < x < \infty

$G^*_3(x) = 1-\exp{\{-e^x\}},\;\; -\infty < x < \infty$

和 $X$ 被一些人标准化的最低限度 $a_n, b_n$ .

注意 $G^*_3(x) = 1 - G_3(-x)$ 和 $G_3()$ 是标准 Gumbel 分布的 CDF。

现在假设 $n/k \rightarrow \infty$ . 这里， $n$ 逃得比 $k$ 并且“在”无穷大，变量是-嗯，它又是一个正常的，因为正常的近似值比无穷大早得多。所以看起来我们将再次获得与 $n/k \rightarrow 0$ 案子。

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