Rosenberg (2010)讨论了衡量影响大小的Phi 系数$\chi^2$：

$r = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}$,

“在哪里$\chi^2$值来自两组对比（因此是单个自由度），n是样本总数；相关性的符号需要通过对对比的独立研究来确定。”

Rosenberg 批评使用 Phi 系数进行荟萃分析，理由是它“有一个潜在的、从未陈述过的假设，有时会被违反，特别是对于遗传学研究：它假设来自$\chi^2$两组的测试是相等的。” 相反，罗森伯格提倡一般转换形式$r = \sqrt{\frac{\chi^2}{nk}}$. 这里$k$指的是两组期望值的比率$k:1$， 在哪里$k$是更大的群体。因此，如果通用公式将简化为常规 Phi 系数$k=1$.

顺便说一句，罗森伯格提到：

$\chi^2$具有多于一个自由度的测试是无重点的综合测试，并且需要更复杂的程序才能转换为效果大小。

Rosenberg 建议读者参考 Rosenthal 和 Rosnow (1985)、Rosenthal 和 Rosnow (1991) 以及 Rosenthal、Rosnow 和 Rubin (2000) 以了解更多详情。但是，我无法访问任何这些书籍，而且我读过的元评论（例如 Boik，2001 年）通常对 Rosenthal/Rosnow 方法相当不屑一顾，这让我想知道这些书会有多大帮助无论如何。

我对这个问题感兴趣的原因是我希望进行一项荟萃分析，在该分析中我汇总了来自$F$,$t$， 和$\chi^2$测试。论文 Open Science Foundation (2015) 提出了执行此操作的一般框架，如本问题所述。然而，关于$\chi^2$测试他们只提出了 Phi 系数，只有在$df=1$. 因此，我正在寻找一个与开放科学基金会 (2015) 论文中提到的其他效应大小兼容的基于相关性的效应大小。

我的问题是：

1. 有转换的程序吗$\chi^2$测试效果大小时$df > 1$，这将与 Phi 系数和开放科学基金会（2015 年）提到的其他基于相关性的措施兼容？
2. 该程序是否也遇到 Rosenberg 确定的关于假设预期值的问题？$\chi^2$测试对所有组都一样吗？如果是这样，有什么好的方法可以解决这个问题吗？
3. 该程序是否仅限于特定应用程序$\chi^2$测试，例如仅限于列联表的分析？

RJ 博伊克 (2001)。行为研究中的对比和影响大小：一种相关方法。美国统计协会杂志，96(456), 1528.
Rosenberg, MS (2010)。用于将卡方检验转换为荟萃分析的效应大小的通用公式。公共科学图书馆一号，5（4），e10059。
Rosenthal, R. 和 Rosnow, RL (1985)。对比分析：方差分析中的重点比较。杯档案。
Rosenthal, R. 和 Rosnow, RL (1991)。行为研究要点：方法和数据分析。麦格劳-希尔。
Rosenthal, R., Rosnow, RL 和 Rubin, DB (2000)。行为研究中的对比和效应大小：一种相关方法. 剑桥大学出版社。