第二个问题似乎要求一个未来观察的预测区间。在以下假设下很容易计算出这样的区间：（a）未来的观察来自相同的分布，（b）独立于先前的样本。当基础分布是正态分布时，我们只需要在两个高斯随机变量的差异周围建立一个区间。请注意，间隔将比t 检验或 z 检验的天真应用所建议的更宽，因为它也必须适应未来值的方差。这排除了我迄今为止看到的所有答案，所以我想我最好明确引用一个。该预测区间端点的 Hahn & Meeker 公式为

其中 $m$ 是样本均值，$t$ 是学生 $t$（对于 $n-1$ df）的适当双边临界值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。特别注意 $\sqrt{1+1/n}$ 而不是 $\sqrt{1/n}$ 的因子。这是一个很大的区别！$m$ is the sample mean, $t$ is an appropriate two-sided critical value of Student's $t$ (for $n-1$ df), $s$ is the sample standard deviation, and $n$ is the sample size. Note in particular the factor of $\sqrt{1+1/n}$ instead of $\sqrt{1/n}$. That's a big difference!

该区间与任何其他区间一样使用：请求的测试只是检查新值是否位于预测区间内。如果是，则新值与样本一致；如果不是，我们拒绝假设它是独立地从与样本相同的分布中提取的。存在从一个未来值到 $k$ 未来值或 $k$ 未来值的平均值（或最大值或最小值）等的概括。$k$ future values or to the mean (or max or min) of $k$ future values, etc., exist.

有大量关于预测区间的文献，尤其是在回归环境中。任何体面的回归教科书都会有公式。您可以从 Wikipedia 条目开始；-)。Hahn & Meeker 的Statistical Intervals仍在印刷中，可供阅读。

第一个问题有一个如此常规的答案，似乎没有人在这里给出它（尽管一些链接提供了详细信息）。为了完整起见，我将在结束时指出，当总体具有近似正态分布时，样本标准差分布为$n-1$ df 的缩放卡方变量的平方根，其期望是总体方差. 这意味着（大致）我们期望样本 sd 接近总体 sd，并且两者的比率通常为 $1 + O(1/\sqrt{n-1})$。与样本均值的并行语句（调用 CLT）不同，该语句相当强烈地依赖于正态总体的假设。$n-1$ df whose expectation is the population variance. That means (roughly) we expect the sample sd to be close to the population sd and the ratio of the two will usually be $1 + O(1/\sqrt{n-1})$. Unlike parallel statements for the sample mean (which invoke the CLT), this statement relies fairly strongly on the assumption of a Normal population.

我发现看到你在问什么相当棘手：

1. 如果您想知道 Var(S) 是否与总体方差不同，请参阅这个先前的答案。
2. 如果要确定均值 (S) 和均值 (X) 是否相同，请查看独立双样本 t 检验。
3. 如果您想测试均值（S）是否等于总体均值，请参见上面的@Srikant 答案，即单样本 t-test。

我的第一个答案充满了错误。这是一个更正的版本：

正确的测试方法如下：

z = (mean(S) - mu) / (stdev(S) / sqrt(n) )

请参阅：学生 t 检验

请注意以下事项：

1. 当您将标准差除以样本量的平方根时，就会考虑样本量。

2. 您还应该注意，z 检验用于测试总体的真实平均值是否为某个特定值。在上述统计数据中用 x 代替 mu 是没有意义的。

我认为您需要先确定您要问的问题，然后才能计算出答案。我认为这个问题太模糊了，无法回答：“测试它是否是针对普通人群的”。

我认为您可以回答的唯一问题是：如果新值来自与其他人相同的总体，那么它与样本均值相距甚远（或更远）的机会是多少？这就是你的方程式将开始回答的问题，尽管它并不完全正确。这是一个包含 n 的校正方程。

t = (x - mean(S))/(stdev(S)/sqrt(n))

计算相应的 P 值（具有 n-1 个自由度），您就已经回答了这个问题。