结合@Xi'an 的评论和@wolfies 的回答，我们有

$$1/T_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n (-\ln X_i)$$

但是（其中是尺度参数），它本质上是一个形状参数为的 Gamma 分布，因此通过 Gamma 的求和属性分配，$-\ln X_i \sim {\rm Exp}(1/\theta)$$1/\theta$$1$

$$\sum_{i=1}^n (-\ln X_i) \sim {\rm Gamma}(n, 1/\theta)$$ 。

使用 Gamma 分布的缩放特性，我们获得

$$1/T_n \sim {\rm Gamma}(n, 1/(n\theta))$$

然后的倒数（即）遵循逆 Gamma分布，具有相同的形状参数和倒数尺度参数$1/T_n$$T_n$

$$T_n \sim {\rm InvGamma}(n, n\theta)$$

有差异的

$${\rm Var} (T_n) = \frac {n^2\theta^2}{(n-1)^2(n-2)}$$

正如Mathematica软件给出的那样。

分子的前导项是，而分母的前导项是$n^2$$n^3$所以方差的极限$T_n$关于$n$归零。

您是否尝试计算 Fisher 信息？获得对数似然的二阶导数，乘以 -1，然后取倒数。在 MLE 进行评估。渐近地，这近似于 MLE 的方差。

问题

让$(X_1, \dots, X_n)$表示大小的随机样本$n$画在

$$X \sim \text{PowerFunction}(\theta,1) \quad \text{ with pdf} \quad f(x) = \theta x^{\theta-1} \text{ where } \quad 0<x<1.$$ 让$Z = -\sum_{i=1}^{n}\ln(X_i). \quad$寻找：$\quad Var\big[\dfrac{n}{Z}\big]$

解决方案

让$Y = -ln(X)$. 然后，通过任何常用的转换方法，$Y \sim \text{Exponential}(\theta)$带PDF$\theta e^{-\theta y}$. 接下来，总和$n$具有速率的 iid 指数$\theta$众所周知$\text{Gamma}(n, 1/\theta)$所以$Z \sim \text{Gamma}(n, 1/\theta)$用pdf，比如说，$g(z)$：

我们寻找$Var(\frac{n}{Z})$：

我正在使用MathStatica包中的Var函数来自动计算Mathematica 。

后者的极限趋于0，因为$n \rightarrow \infty$， 按要求。