二项分布随着次伯努利试验的成功次数而出现。每个试验要么成功，要么不成功，因此试验中的成功次数可以是中的任何一个值。例如，一次投掷 3 次正面朝上的次数可以是 0、1、2 或 3。$n$$n$$0, 1, 2, ..., n$

如果一个除以试验次数得到次试验成功的比例，那么可能的值为。这可以称为缩放二项式。$n$$0, \frac{_1}{^n}, \frac{_2}{^n},...,\frac{_{n-1}}{^n},1$

您使用哪个取决于您对建模感兴趣的事物。

然而，这显然是一个男人的平均身高

这是不正确的。该直方图总结了个人身高，而不是平均身高。高度实际上也不是正态分布的。出于某些目的，它的近似值还不错，但高度的分布（显然）实际上并不正常。一方面，负高度的可能性为零，但正态分布都有负值的非零可能性（尽管在某些情况下它的可能性可能非常小）。

也许最令人困惑的部分是为什么二项分布接近正态，但实际上并非正态。

嗯，最明显的区别（许多区别之一）是它是一个计数——一个离散分布；二项式累积分布函数 (cdf) 始终是阶跃函数。正态分布是连续的；他们的 cdf 从来都不是阶跃函数。

来说，它看起来像钟形，只有当变得足够大时才会发生这种情况（尽管如果是中等的，那么什么才算“足够大”以看起来是钟形的）可能很小）。对于小它通常不是非常钟形的，它只是几个尖峰（例如，我不会将称为任何的钟形）。$n$$n$$p$$n$$n=2$$p$

如果非常接近或，它可能需要一个非常大的才能开始看起来像钟形——这是一个的例子，它看起来一点也不像钟形——$p$$0$$1$$n$$n=100$

的增加，它最终会开始看起来更像钟形。$n$

（在趋于无穷的极限中，中心极限定理告诉我们标准化二项式变量的 cdf 将收敛到标准正态 cdf。）$n$

至于为什么在一些或多或少的中等样本量下会发生这种情况，这是因为它是许多独立部分（单个试验）的总和；当您在混合中添加更多时，密度卷积（或离散变量中的 pmfs）变得更加钟形（在某些条件下，所有这些都将满足独立的伯努利试验）。

考虑添加两个（独立的）这样的 0-1 变量。它们都是1（总共是 2）的概率是并且它们都是 0 的概率是，但是一个是 0 而另一个是 1 的概率是（这些都来自基本的概率考虑）。如果在 1/3 和 2/3 之间，则该概率将超过两个端点（也就是说，极端和比中间的更难获得，因为中等结果可能以更多方式出现），并且当你添加更多术语，极端情况变得越来越少，并且中心得到那个特征“凹凸”。$p^2$$(1-p)^2$$2p(1-p)$$p$

变大，标准化二项式的 cdf 将变得更接近标准正态的 cdf 。处它可能与正常值相差多远（但这是最坏的情况；二项式往往比该界限所暗示的更接近）。$n$$n$