机器算法验证 - 你如何计算混合对数正态分布的期望值？ - 吾爱随笔录

你如何计算混合对数正态分布的期望值？

机器算法验证期望值混合分布对数正态分布

2022-03-27 18:14:55

认为 $X=\log(Y)$ 可以通过两个具有比例的正态分布的混合来建模 $p$ 的 $X_1$ 和比例 $1-p$ 的 $X_2$ ，在哪里 $X_1\sim\mathcal N(U_1, \sigma^2_1)$ 和 $X_2\sim\mathcal N(U_2, \sigma^2_2)$ .

你是怎么计算的 $E(Y)$ ; IE， $E(\exp(X))$ 在哪里 $X$ 是两个法线的混合吗？

2个回答

我将尝试为混合情况给出答案。让我们正式设置设置。我们考虑一个随机变量 $X$ 和一个指标随机变量 $I$ ，和 $P[I=1] = 1-P[I=2] = p$ ，独立于 $X$ . 此外，对于混合物，我们有 $X$ 鉴于 $I=1$ 是法律 $X_1$ ，这是具有均值的高斯 $U_1$ 和方差 $\sigma^2_1$ ; 而如果 $I=2$ , 规律是 $X_2$ 依法 $N(U_2,\sigma^2_2)$ .

那么，对于 $Y=\exp(X)$ 我们可以将期望计算为

\begin{aligned} E [Y] & = E [\exp (X)] = p E [\exp (X) | I = 1] + (1 - p) E [\exp (X) | I = 2] \\ = p E [\exp (X_{1})] + (1 - p) E [\exp (X_{2})] \\ = p \exp (U_{1} + σ_{1}^{2} / 2) + (1 - p) \exp (U_{2} + σ_{2}^{2} / 2) \end{aligned}

$\begin{align} E[Y] &= E[\exp(X)] = p E[\exp(X)|I=1] + (1-p) E[\exp(X)|I=2] \\ &= p E[\exp(X_1)] + (1-p) E[\exp(X_2)] \\ &= p \exp(U_1+ \sigma^2_1/2) + (1-p) \exp(U_2+ \sigma^2_2/2) \end{align}$ 通过使用对数正态的期望。

例如，如果您正在处理两组分混合物，则第一个矩计算如下： $\mu_{\rm mixture}=\pi_{1} \cdot \mu_{1} + \pi_{2} \cdot \mu_{2}$ ，在哪里 $\pi_{i}\ (i=1,2)$ 代表组件的重量和 $\mu_{i}\ (i=1,2)$ 为手段。

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