是的，这不是必要条件。回想一下，我们对 Dickey-Fuller 检验的零分布所知道的只是它的渐近表示（尽管文献当然考虑了许多改进）。

通常情况下，由于（在这种情况下：泛函）中心极限理论参数，我们在考虑渐近分布时不需要对误差项进行分布假设。

这是 Phillips ( Biometrika 1987 ) 的屏幕截图，说明了对错误的假设——如您所见，这些比要求正常性要广泛得多。

也就是说，渐近分布没有封闭形式的解决方案，因此您需要从分布中进行模拟以获得临界值（现有的无限级数表示对于生成临界值也不实用）。要执行该模拟，您必须从某个分布中提取错误，而传统的选择是模拟正态错误。

但是，正如 Phillips 所示，如果您要从满足上述要求的其他分布中提取误差，您将渐近地得到相同的分布。您可以在我的回答rnorm(T)中用一些这样的分布替换该行以进行验证。

也就是说，有限样本分布当然会受到误差分布的影响，因此误差分布将在较短的时间序列中发挥作用。（事实上​​，我确实用 替换rnorm(T)了rt(T, df=8)，并且差异仍然与大至 20.000 相关。）$T$

是的，创新不一定是正常的，根本不是。

导致 DF 统计量的渐近零分布的基本数学事实是功能中心极限定理或不变原理。

如果您愿意，FCLT 是 CLT 的无限维泛化。CLT 适用于相关的非正态序列，并且可以对 FCLT 做出类似的陈述。

（相反，FCLT 意味着 CLT，因为布朗运动的有限维分布是正态的。所以任何给你一个 FCLT 的一般条件都立即意味着一个 CLT。）

功能中心极限定理

给定一系列随机变量，。考虑随机函数序列 ,，定义为 每个上的随机过程，样本路径位于 Skorohod 空间中。$u_i$$i = 1, 2, \cdots$$\phi_n$$n = 1, 2, \cdots$

$$\phi_n(t) = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i = 1}^{[nt]} u_i, \; t \in [0,1].$$ $\phi_n$$[0,1]$$D[0,1]$

FCLT 的通用形式提供了充分的条件，在该条件下上弱收敛的（标量倍数）。$\{ \phi_n \}$$D[0,1]$$B$

充分的条件，比 上面引用的Phillips 和 Perron (1987)的条件更普遍，如果不是在时间序列文献中的话，也是事先知道的。例如，参见McLiesh (1975)：

• Phillips 和 Perron 的强混合条件 (iv) 暗示了在某些条件下的 McLiesh 混合条件。

• Phillips 和 Perron 的条件 (ii) 要求在矩的统一可积性。$2 + \epsilon$$\{ u_i\}$$\{ u_i^2 \}$

• Phillips 和 Perron 的条件 (iii) 实际上并不像预期的那样完全正确/充分。

有关该方向的时间序列文献的另一个里程碑，请参见Elliott、Rothenberg 和 Stock (1996)，他们在其中应用了类似 Neyman-Pearson 的方法来对单位根检验的渐近功率包络进行基准测试。到那时，常态假设早已不复存在。

DF统计

根据 FCLT 和连续映射定理，DF -statistic具有渐近分布 该分布的第 5 个百分位数是标称尺寸为 5% 的 DF 检验的临界值。$\tau$$\tau$

$$\tau \stackrel{d}{\rightarrow} \frac{\frac12 (B(1)^2 - 1)}{ \sqrt{ \int_0^1 B(t)^2 dt} }.$$

使用 iid 正态误差项和随后的另一个误差项模拟，例如，时间序列规范将导致与样本量变大时相同的分布。$\tau$

评论

我不同意@mlofton 的评论

一般来说，没有人会使用 Phillips 结果，因为从导出的分布进行分析模拟并不是非常实用。人们通常使用 DF 表，这些表与渐近表示无关。他们使用误差项的正态性，并允许从业者获得样本量低至 20 的 DF 统计量......

菲利普斯的一个主要贡献是指出“无假设”渐近分布是可能的。这是与当代经济理论的发展一起，使经验从业者（尤其是宏观计量经济学家）相信单位根检验属于他们的日常工具箱的原因之一。需要数据生成过程的正态性的统计量（更具体地说，零分布）根本没有用——例如，假设统计量仅在数据为 iid 正态时才有效。这是早期单位根文献的局限性。$t$