作为记录，整合出$y$给出边际密度

$$f_X(x) = \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y = 3x^2e^{-x^3}.$$

通过检查（或通过替换集成$x^3$) 这具有分配功能

$$F_X(x) = 1 - e^{-x^3}\quad (x \ge 0).$$

有条件的$x,$的密度$y$正比于$y^x,$其分布函数为

$$F_{Y\mid X}(y\mid x) = y^{1+x}\quad (0\le y \le 1).$$

因此，如果我们绘制一个统一变量$U$在范围内$[0,1],$ $x = F_X^{-1}(U)$将具有相同的分布$X;$然后如果我们独立绘制另一个统一变量$V,$求解方程

$$V = F_{Y\mid X}(y\mid x)$$

为了$y$会给我们一个认识$(x,y)$从密度分布$f.$

一个实际的例子是这个R实现，它从这个分布中提取n iid值：

rjoint <- function(n) {
  x <- (-log(runif(n)))^(1/3)
  y <- runif(n)^(1/(1+x))
  cbind(x, y)
}

（通过申请可以节省一点时间$F_X^{-1}$至$1-U,$它也具有均匀分布。）

返回值是一个$n\times 2$数组与$x$在第一列和$y$在第二。

绘制一千万个值x <- rjoint(1e7)（在这台机器上需要两秒钟）的结果如下图所示，其中生成的 2D 密度的等高线绘制在彩色等高线图上$f$（两者都使用相同的等高线间隔，范围从$0.2$靠近底部$2.2$在顶部）。

协议看起来不错。

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评论

这个问题有两种明显的方法：整合出$y$或整合出去$x.$ 两者都有效，但后者太讨厌了，我不知道如何手工完成。Wolfram 语言 13 引擎找到了一个表达式：

但是，它不知道如何简化或反转此功能;-)。