问自己以下问题：

首先，分部积分如何影响问题的可解性，以及解的空间？

其次，您可以为哪个函数空间构建一系列可以实现的子空间（ansatz 函数）？

让我们考虑泊松问题$u'' = f$对于，比如说，在上，具有齐次狄利克雷边界条件。通过积分，方程的左边和右边可以被认为是上的有界泛函，比如对于我们有$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

$\phi \mapsto \int u'' \phi dx$和$\phi \mapsto \int f \phi dx$

由于中的任何函数都可以，因此如果您只知道所有测试函数的值，则两个积分泛函都是完全已知的。但是使用测试功能，您可以进行分部集成，并将左侧转换为功能$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

将其读作：“我采用一个测试函数，计算它的微分，并将它与 -u' 在 [0,1] 上进行积分，然后返回结果。” 但是这个函数没有定义和限制在上，因为你不能取任意函数的微分。一般来说，它们可能看起来非常奇怪。$\phi$$L^2$$L^2$

我们仍然观察到，这个泛函可以扩展到 Sobolev 空间，它甚至是上的有界泛函。这意味着，给定 -norm 的倍数粗略估计值。此外，函数当然不仅在上定义和有界，而且在上定义和有界。$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

现在您可以，例如，应用 Lax-Milgram 引理，因为它在任何 PDE 书中都有介绍。也有描述它的有限元书，只有功能分析，例如 Ciarlet 的经典著作，或 Braess 的相当新的书。

Lax-Milgram 引理为 PDE 人提供了一个很好的纯分析工具，但他们也使用了很多陌生的工具来实现他们的目的。尽管如此，这些工具也与数值分析相关，因为您实际上可以为这些空间构建离散化。

例如，为了具有的离散子空间，只需使用帽子函数。它们没有跳跃并且是分段可微的。它们的微分是分段常数向量场。这种构造适用于，这很好，但是你能想出一个 ansatz 空间，它的函数不仅有梯度（很好，即平方可积），而且谁的梯度又发散了？（再次，平方可积）。一般来说，这很难。$H_0^1$$d=1,2,3,...$

因此，一般而言，您如何构建弱公式的原因是您想要应用 Lax-Milgram 引理，并拥有一个使得函数实际上可以实现的公式。（作为记录，Lax-Milgram 不是该上下文中的最后一个词， ansatz 空间也不是离散化中的最后一个词，例如，参见不连续 Galerkin 方法。）$H_0^1$

对于混合边界条件的情况，自然测试空间可能与您的搜索空间不同（在分析设置中），但如果不参考分布理论，我不知道如何描述，所以我停在这里。我希望这是有帮助的。