据我了解，BCH公式是一种近似两个非交换矩阵的矩阵指数的系统方法。

如果考虑通用算子 A 和 B，并且只想做正时间步长（这是解决抛物线问题时通常需要的），则存在 2 的阶障碍，即使用任何类型的拆分，都无法获得收敛速度高于 2。S. Blanes 和 F. Casas 在最近的一篇论文中给出了基本证明，http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf。

但是，如果您对自己的问题有更多了解，有几种方法可以解决：

• 假设您可以及时求解您的方程（这对于例如薛定谔方程很常见），那么有许多可用的拆分，请参阅 Hairer、Lubich 和 Wanner 的“几何数值积分”一书。
• 如果您的算子生成解析半群，即您可以为 t 插入复数值（典型的抛物线方程），最近观察到您可以通过进入复平面获得更高阶的分裂。该方向的第一篇文章是 E. Hansen 和 A. Ostermann，http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf和 F. Castella, P. Chartier 、S. Descombes 和 G. Vilmart。选择在某种意义上“最优”的复杂拆分是当前研究的主题，您可以在 arxiv 上找到几篇关于该主题的论文。

总结：如果你对你的问题进行一些假设，你可以得到一些东西，但如果没有，那么 2 阶是最大值。

PS.：由于防止垃圾邮件，我不得不将 Castella et al-paper 的链接取出，但您可以在 google 上轻松找到它。

LBNL的CCSE小组最近在具有复杂化学性质的低马赫数流中使用了光谱延迟校正 (SDC) 方法。他们将 SDC 结果与 Strang 分裂进行了比较，结果非常有希望。

这是一份包含详细信息的草稿：A Deferred Correction Coupling Strategy for Low Mach Number Flow with Complex Chemistry

请注意，SDC 方案是一种迭代方案，可收敛到高阶精确搭配解决方案，但它是由一阶方法构建的。

至少在原则上，分裂误差可以通过光谱延迟校正方法来减少。然而，这似乎是一个积极研究的领域，而不是真正准备好普遍使用的东西。