在单个应用程序中，您很可能只需要广义超几何函数所有可能极端值的一小部分。毕竟，这是一个非常通用的功能。对范围有一个想法$z$和参数$a_i, b_i$将允许提供更具体的建议。

一般来说，标准方法，假设$p \le q + 1$, 当然是使用定义幂级数时$|z|$是小。如果$p < q + 1$，最好切换到渐近展开式$|z|$很大，或者是因为泰勒级数收敛太慢和/或由于灾难性抵消而变得太不准确。这些算法之间的最佳截止值取决于参数和精度要求。

为了${}_1F_2$渐近级数由http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/给出它看起来相当可怕，但如果你$a_1, b_1, b_2$是固定的，您可以提前计算系数的数值。通用公式可在 DLMF 中找到：http://dlmf.nist.gov/16.11 （请注意，需要注意选择正确的分支切割。）

如果存在泰勒级数和渐近级数都不够好的范围，则“指数改进扩展”可能有用。另一个值得一提的可能性是，您可以将超几何微分方程插入通用 ODE 求解器。这应该工作得很好，特别是如果你只需要 4-5 位数字。这可以用来从一个小的$z$（幂级数运行良好）到更大的一个，或者与通过渐近级数获得的值相反（您可能需要做更多的工作才能获得所需的所有导数作为初始值）。

如果您需要功能$p = q + 1$那么在整个复平面上$1/z$转换公式可用于将单位圆盘的外部映射到内部。一些收敛加速算法或其他方法，如 ODE 的数值积分，必须在单位圆附近使用。如果$p > q + 1$半径是收敛为零，因此如果您要评估的函数由这样一个发散级数给出，您可能需要应用 Borel 变换（数字或符号）以将其减少为收敛级数。

对于完整的实现，还需要考虑其他问题（例如，处理非常大或非常接近负整数的参数）。对于足够糟糕的参数，无论您做什么，都很难获得具有双精度的准确值，因此可能需要任意精度的算术。

我应该注意到，我已经为 mpmath 库编写了一个几乎完整的广义超几何函数的数值实现（它目前缺少高于${}_2F_3$)，这对于研究或运行测试可能很有用（假设它对于您的目的还不够快）。

所有特殊函数的规范参考是 Abramowicz 和 Stegun。这是一本已经出版了大约半个世纪的书，如果您在其中找不到某些内容，请查看“更新的第二版”，它实际上是由美国国家标准研究院 (NIST) 组织的网站）。我没有确切的网址，但应该不难找到。