什么时候矩阵病态？这取决于您正在寻找的解决方案的准确性，就像“美丽在旁观者的眼中”......

可能您的问题应该更好地重新表述，因为是否有基于$LU$分解的廉价且稳健的条件数估计器？

假设您对双精度算术中真正的一般（密集、非对称）问题感兴趣，我建议您使用 LAPACK 专家求解器DGESVX，它以倒数$\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$。作为奖励，您还有其他好处，例如方程平衡/平衡、迭代细化、前向和后向误差界限。顺便说一句，病理性病态条件 ( $\kappa(A) > 1/\epsilon$ ) 由 表示为错误INFO>0。

更详细地说，LAPACK 通过DGECON估计 1-范数（或 -范数，如果你正在解决）中的条件数。基本算法在第 36 章中描述：“用于条件估计的稳健三角求解”。$\infty$$A^T x = b$

我必须承认我不是该领域的专家，但我的理念是：“如果它对 LAPACK 来说足够好，它就适合我”。

具有范数 1 矩阵和范数 1 的随机右手边的病态方程组的解很可能具有条件数阶的范数。因此，计算一些这样的解决方案会告诉你发生了什么。

几乎不可能仅从一个结果就判断您的系统是否处于病态。除非您对系统的行为有一定的预见性（即知道解决方案应该是什么），否则您对单一解决方案无能为力。

话虽如此，如果您解决多个具有相同系统，您可以获得更多信息。假设您有一个形式的系统。对于您对其调节没有先验知识的特定 A，您可以执行以下测试： $A$$Ax=b$

1. 为特定的右手边向量求解 b 。 $Ax=b$$b$
2. 扰动你的右手边向量，其中相比非常小 .$b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$$||\mathbf{\epsilon}||$$||b||$
3. 求解。$Ax_{new}=b_{new}$
4. 如果您的系统状况良好，那么您的新解决方案应该与旧解决方案相当接近（即应该很小）。如果您观察到新解决方案的显着变化（即很大），那么您的系统可能是病态的。 $||x-x_{new}||$$||x-x_{new}||$

您可能需要求解多个具有不同右手边向量的线性系统，以便更好地指示系统是否为病态。当然，这个过程有点昂贵（假设您的直接求解器保存了它的因子，第一个解决方案的 )操作和每个后续解决方案的 \Theta(n^2) 操作）如果您的矩阵 A 相当小，这不是问题。如果它很大，您可能不想这样做。相反，您最好计算条件数在一个方便的规范中。$\Theta(n^3)$$\Theta(n^2)$$||A||\cdot||A^{-1}||$