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压力作为拉格朗日乘数

计算科学优化流体动力学纳维斯托克斯不可压缩

2021-12-08 00:35:41

在不可压缩的 Navier-Stokes 方程中，

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ 压力项通常被称为执行不可压缩条件的拉格朗日乘数。

在什么意义上这是真的？是否有不可压缩的 Navier-Stokes 方程作为受不可压缩约束的优化问题的公式？如果是这样，是否存在在优化框架内求解不可压缩流体流动方程的数值模拟？

1个回答

这通过考虑平稳的斯托克斯方程最容易看出这相当于问题如果你写下拉格朗日然后这个优化问题的最优性条件，你会发现压力确实是拉格朗日乘数。

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

问题之间的这种等价性在任何数值方案（我知道）中都没有被利用，但它是分析中的一个重要工具，因为它表明斯托克斯方程本质上是线性子空间上的泊松方程。与时间相关的 Stokes 方程（对应于子空间上的热方程）也是如此，并且可以扩展到 Navier-Stokes 方程。

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