在域分解 (DD) 和多重网格 (MG) 方法中，可以将块更新或粗校正的应用组合为加法或乘法。对于逐点求解器，这是 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代之间的差异。乘法平滑器为作为应用为
并且添加的平滑器被应用为
对于一些阻尼. 普遍的共识似乎是乘法平滑器具有更快的收敛特性，但我想知道：在什么情况下这些算法的加法变体的性能更好？
更具体地说，是否有人有任何用例，其中加法变体应该和/或确实比乘法变体表现得更好？这有理论上的原因吗？大多数关于多重网格的文献都对Additive 方法相当悲观，但它在 DD 上下文中的使用如此之多，就像 Additive Schwarz 一样。这也延伸到了组成线性和非线性求解器的更普遍的问题，以及哪种类型的构造将表现良好并且并行表现良好。
加法方法暴露了更多的并发性。如果您可以使用这种并发性，它们通常只比乘法方法快。例如，多网格的粗略级别通常受延迟限制。如果您将粗略的级别移动到较小的子通信器，那么它们可以独立于更精细的级别来解决。使用乘法方案，所有 proc 都必须等待粗略级别的求解。
此外，如果算法需要在每个级别上进行减少，则加法变体可能能够将它们合并，因为乘法方法被迫按顺序执行它们。
对于 SPD 问题，加法方法更适合 MG 平滑，原因如下所述：
@Article{Adams-02,
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.},
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel},
journal = {J. Comp. Phys.},
year = {2003},
volume = {188},
number = {2},
pages = {593-610} }
然而，乘法方法确实具有直接开箱即用的 MG 平滑器的正确光谱特性，也就是说，它们不需要阻尼。对于多项式平滑不是很好的双曲问题，这可能是一个巨大的胜利。
我将重申@Jed 所说的：乘法方法总是至少与加法方法一样收敛（渐近地），所以你只能基于并发获胜，但这取决于架构。