我们应该对双曲 PDE 使用哪些时间积分方法?

计算科学 双曲-pde
2021-12-13 01:51:39

如果我们使用线法对双曲 PDE 进行离散化(单独的时间和空间离散化),我们在通过我们最喜欢的数值方法(fx.有限体积法)进行空间离散化后获得,在实践中我们使用哪种 ODE 求解器进行时间离散化是否重要(TVD/SSP/等)?

添加了一些附加信息:精度问题可能是非平滑问题的问题。众所周知,非线性双曲 PDE 可以在有限时间内产生冲击,尽管初始解是平滑的,在这种情况下,对于高阶方法,精度可能会下降到一阶。

ODE 稳定性分析通常基于线性化来获得线性半离散 ODE 系统,其形式为 q_t = J q(带有 qa 扰动向量),其中 J 的特征值应在所选时间的绝对稳定区域内缩放 -步进法。替代策略是使用伪光谱或可能的能量方法进行稳定性分析。

我知道 TVD/SSP 方法的动机是避免由时间步长方法引起的虚假振荡,这可能导致非物理行为。问题是经验是否表明这些类型的时间步进方法优于例如显式龙格-库塔方法或其他经典工作马。显然,对于解决方案可能会出现冲击的问题类别,它们应该具有更好的属性。因此有人可能会争辩说,我们应该只使用这些类型的方法进行时间积分。

2个回答

我不知道您是否仍然对答案感兴趣,但无论如何我都会去:

你已经说过你知道非线性方程中的冲击形成。这正是您必须谨慎选择时间积分器的原因。当时间离散化不是时,应用 TVD 空间离散化是没有用的 - 你会看到与高阶数值通量可能看到的相同的振荡。

归结为前向欧拉有效。您已经在问题中提到了 SSP(强稳定性保持)。这是利用它的一类特殊的 Runge-Kutta 方法。基本上,您必须选择该方法的系数,使其可以写成欧拉步骤的凸组合。这样,TVD 等属性将被保留。

Gottlieb、Ketcheson 和 Shu 有一本关于 SSP 方法的非常好的书,名为“Strong Stability Preserving Runge-Kutta and Multistep Time Discretizations”亚马逊链接

是的,这很重要。通常需要关注的两件事:

  1. 准确性。一些 ODE 方案比其他方案更准确、更高阶等等。经验法则是选择一种精度与空间离散化相似的方法。

  2. 稳定。对于双曲问题,您希望算子具有纯虚特征值,因此您需要一个 ODE 求解器,该求解器在其稳定性域中包含部分虚访问。例如,参见 Fornberg 中的附录 G,伪光谱方法实用指南。

对于双曲方程,有些人希望确保他们的解总是正的,因此有各种过滤器和技巧来确保这一点。但我对此几乎一无所知。

我远非专家,但我想我会尝试回答,因为这个问题已经存在了一段时间。