让我们从形式问题开始

具有一组给定的边界条件（Dirichlet、Neumann、Robin、Periodic、Bloch-Periodic）。这对应于找到某些运算符的特征值和特征向量$\mathcal{L}$，在某些几何和边界条件下。例如，人们可以在声学、电磁学、弹性动力学、量子力学中得到这样的问题。

我知道可以使用不同的方法对运算符进行离散化，例如，有限差分方法来获得

或使用有限元方法获得

在一种情况下得到特征值问题和在另一种情况下得到广义特征值问题。在获得问题的离散版本后，使用特征值问题的求解器。

一些想法

• 在这种情况下，制造解法没有用处，因为没有源项来平衡方程。

• 可以验证矩阵$[K]$和$[M]$使用带有源项的频域问题很好地捕捉到，例如

  $$[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$$

  代替

  $$[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$$

  但这不会检查求解器问题。

• 也许，可以比较不同方法的解决方案，例如 FEM 和 FDM。

问题

由于特征值问题的 FEM 和 FDM 等数值方法，验证离散化方案的解（特征值-特征向量对）的方法是什么？