为了测量 PDE 解中的误差，选择解所在空间的范数是很自然的。例如，对于椭圆 PDE，解决方案在于$H^1$所以很自然的选择$H^1$衡量误差的标准。这是有道理的，因为例如，解决方案不在空间中$W^{1,\infty}$因此计算梯度中的最大误差是没有意义的，因为如果即使精确解具有梯度不是有限的点，您也无法测量此误差。换句话说，测量空间范数的误差是没有意义的$X$（例如，$X=W^{1,\infty}$) 如果确切的解决方案在于$Y$（例如，$Y=H^1$） 和$X\subset Y$.

另一方面，我们经常测量空间范数的误差$Z$如果$Z\supset Y$，例如，当我们测量误差时$L_2$. 对于这些其他规范，有时是因为物理上的重要性，但同样通常只是为了方便。这$L_2$范数有时有一些物理意义：例如，电场平方的积分$\int E(x)^2 \; dx$，即，平方$L_2$范数，是存储在电场中的能量；同样，波动方程解的范数的平方是存储在解中的势能。在其他时候，它只是一个方便选择的规范。例如测量$L_2$时间相关热方程中的误差范数几乎总是错误的选择，因为物理相关量（总热能、材料量）实际上是$L_1$解决方案的规范；在这种情况下，测量误差$L_2$norm 除了方便之外没有其他意义。

欧几里得范数通常基于两点的欧几里得距离是距离的合理度量的假设而使用。但除非是这种情况，否则这种选择并不比适应问题的选择更可取。例如，如果向量的分量的典型大小非常不同（因为它们意味着非常不同的事物），那么欧几里得范数就很差，因为它几乎不考虑小分量变化的影响。在这种情况下，要么需要在应用规范之前首先缩放向量以具有相似大小的分量，要么必须使用以不同方式缩放不同分量的规范。

规范$\|x\|$向量的大小（对于矩阵和函数也是如此）是其大小的度量；该措施必须适应您正在解决的问题的含义。在有限维中，所有范数都是等价的，因为它们描述了相同的拓扑；但数值可能很大程度上取决于特定的规范。（对于拓扑，唯一感兴趣的是极限。在有限 D 中，这与范数无关，即在任何范数中如果。但是一个有多接近是否达到极限在很大程度上取决于您测量它的标准。）$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

因此，必须选择一个有意义的规范才能获得有意义的结果。

在无限维空间（尤其包括公共函数空间）中，范数不再是等价的，不同的范数可能导致不同的拓扑。现在，即使要获得有限的结果，也必须选择一个合适的范数，如果没有一个好的范数选择，边界项可能是不可能的。

作为练习，我建议您比较参数化的中的各种向量 -norm的值，并在序列。然后你会欣赏这些差异。一个很好的例子是带有条目的向量，其中。这里对于小和大（通过积分近似总和） ，它变得无限当时大到$p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$时仍然很小。$p>1/s$

几点说明：

通常，您选择哪种规范取决于您要测量的内容。就是这么简单。

对于数值 pde，范数具有提供希尔伯特空间结构的便利特性。使用此规范的一个自然原因来自对测量误差的处理，如https://scicomp.stackexchange.com/a/2763/238中所述。我不知道除了数学可行性之外是否还有其他原因。$L^2$

-norm在您想要对“逐点”错误断言最大界限时使用。用有限的对偶空间是很自然的。$L^\infty$$L^\infty$$L^1$

其他范数用于非线性 PDE，如果您想控制函数及其广义导数$L^p$$L^p$