如何近似大矩阵的条件数， 如果是傅里叶变换的组合（非均匀或均匀），有限差分, 和对角矩阵?
矩阵非常大，不存储在内存中，只能作为函数使用。
特别是，我有以下矩阵：
我想调查两者之间的关系和条件编号.
我认为需要某种迭代方法？最好有一些 MATLAB 代码可用。
如何逼近大矩阵的条件数？
计算科学
线性代数
matlab
有限差分
条件数
2021-12-07 07:44:08
1个回答
MATLAB 对此有几个“精确”函数，cond并且rcond，后者返回条件数的倒数。下面对Matlab 近似函数condest进行更全面的描述。
条件数的估计通常是作为矩阵线性系统解的副产品生成的，因此您可能能够将条件数估计搭载在您需要做的其他工作上。有关如何计算估计值的简要说明，请参见此处。此外， Sandia Labs AztecOO 文档注释（参见第 3.1 节）可选条件数估计可从迭代求解器获得（使用生成的具有共轭梯度的三对角 Lanczos 矩阵或生成的具有重新启动的 GMRES 的 Hessenburg 矩阵）。
由于您的矩阵“非常大”并且“仅可用作函数”，因此逻辑方法将是一种搭载共轭梯度求解器或变体的方法。
最近 arXiv.org 的一篇论文Non-stational extremal eigenvalue approximations in iterative solutions of linear systems and estimators for relative error提出了这种方法，并引用了一些早期文献。
现在我看，这个论坛有许多密切相关的以前的问题（不是所有的答案，但检查评论）：
在 Matlab/Octave 中计算大矩阵条件数的最快算法
由于 MATLAB 代码的可用性是问题的一部分，这里有一些关于 的信息condest，这是一个估计 1 范数条件数的内置函数. 这个想法来自 Hager(1984)，2010 年的文章和扩展在这里，明确计算（找到一列的最大 1-范数）并估计通过梯度法。另请参阅 John Burkardt 的CONDITION，一个 MATLAB 库（可用的其他语言）“用于计算或估计矩阵的条件数”。
由于您的矩阵显然是 Hermitian 且正定的，因此 2 范数条件数可能更令人感兴趣。那么问题就等于估计最大与最小（绝对）特征值的比率。挑战在某种程度上与 1 范数情况相似，因为通常可以很容易地获得对最大特征值的良好估计，但估计最小特征值被证明更加困难。
尽管针对非 SPD（甚至非平方）情况，但最近 arXiv.org 的这篇论文Reliable Iterative Condition-Number Estimation很好地概述了最小特征值估计问题和 Krylov 子空间的有希望的攻击路线方法 (LSQR) 相当于 SPD 情况下的共轭梯度。