您必须求解的鞍点矩阵采用以下形式：

$$\begin{bmatrix} A & B^T \\ B \end{bmatrix},$$ 其中是无约束矩阵，是观察浸入界面沿线节点处解值的矩阵。$A$$B$

鞍点矩阵的条件部分由的最小奇异值控制。的最小奇异值越小，条件越差。有关详细信息，我强烈推荐以下论文：$B$$B$

克伦德尔、沃尔夫冈、瓦莱里娅·西蒙奇尼和沃尔特·祖勒纳。“鞍点问题的稳定性估计和结构光谱特性。” 数值数学 124.1 (2013): 183-213。https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

现在让我们详细看一下浸没在网格中的界面的矩阵，如下图所示（黑色为网格，红色为浸没界面）：$B$

矩阵采用以下形式：$B$

$$B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ & 1/2 & 1/2 \\ & & 1/2 & 1/2 \\ &&& \ddots& \ddots \end{bmatrix}$$

但是，如果将乘以一个高度振荡的向量，则结果很小，因为正负贡献往往会抵消。例如：$B$

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & -1 &\dots\end{bmatrix}}_{\text{large norm}} ~B = \underbrace{\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0 & \dots\end{bmatrix}}_{\text{small norm}}$$

因此，具有较小的奇异值，对应于振荡界面向量。因此，鞍点矩阵是病态的，并且网格越细，情况就越差。$B$

每个拉格朗日乘数对应一个约束。因此，如果拉格朗日乘数的空间太大，那么在不显着限制可用于满足问题物理性质的未知数的数量的情况下，您将无法再同时满足太多约束。这就是锁定中发生的情况：每个约束都会将未知数的数量减少一个，并且最终会导致未知数太少而无法在物理上准确。