在最近的SIAM 新闻文章中，有一篇长文描述了有限元素的系统组织，恰当地称为有限元素周期表。看到如何通过有限元外部微积分完成分类真的很有趣。正如作者所指出的：
正如元素周期表中化学元素的排列导致新元素的发现一样，有限元素周期表不仅澄清了现有元素，而且突出了我们知识中的漏洞，并导致了适合某些特定元素的新的有限元素族。目的。
这个类比让我着迷，让我想知道是否有可能以与发现缺失的物质元素相同的方式来填补所有可能的“漏洞”。也许这可能将类比延伸得太远了，但我很好奇是否根据这种有限元外部微积分分类方法已经充分探索和开发了有限元中所有可能的“差距”。如果不是，那么目前研究重点开发的更重要的“缺失方法”是什么？为什么？此外，是否有任何有限元方法不能通过这种方法进行分类（除了明显遗漏任意形状的单纯形......）？
免责声明：我实际上并不在这个领域工作（只是觉得它很有趣），所以我可能会误解一些想法。如果发生这种情况，请道歉，如果您发现错误，请纠正我。
附注 - 有限元并不完全等同于有限元方法。这些是由 Ciarlet 定义的元素 - 具有定义为空间线性泛函的自由度的有限维逼近空间。有限元方法可以是更广泛的离散化集合（例如，弱形式的稳定化、离散技巧等）。
Doug Arnold在 SIAM 表的脉络中对当前工作进行了很好的采样。一个巧妙的地方是将这个想法扩展到有限元的偶然性群，这使他能够生成一个新的 3D 偶然性有限元族。Annalisa Buffa 也将B 样条离散化拟合到这个微分形式的框架中。
上述许多想法涉及 De Rham 复形的有限维再现以形成“兼容离散化”（混合有限元的稳定性与离散化兼容的一般概念相关联）。Maxwells和curl-curl问题中也存在兼容性，这提供了方法的稳定性和算子光谱的准确再现。在 FEM 之外，模拟有限差分方法似乎也与这些概念相关（尽管它们与混合 FEM 方法密切相关，所以我不确定这有多特别）。
最近，Arnold 提出了基于单独的“弹性”复合体的弹性有限元，John Evans 为 Stokes 复制了这个想法，定义了基于“Stokes 复合体”的不可压缩流动问题的基础。如果将包括无散度条件在内的完整问题离散化，则可以证明所得离散化是逐点（不是弱）无散度的。Gerritsma 和 Hiemstra 认为，您可以使用相同的几何思想来构建满足各种守恒定律的精确守恒性质的高阶离散化。
TL;DR - 有限元元素周期表：奇异元素和非传统元素？对于将 FEM 分组的想法：兼容的离散化和物理的几何建模？