您完全正确：范数的定义方式是离散（向量）范数等于（或至少近似）相应函数的连续范数。

当您有非均匀网格时，您给出的形式（总和内有）是正确的，并且经常用于非均匀网格的分析。$h_i$

当然，在 2d 中，正确的公式将包含一个因子$h^2$并在 3d 的$h^3$.

给定一个函数$f(x)$,$x \in (a,b)$，让我们定义$L^2$规范为

$$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$$ 给定一个向量，其中我们将离散范数定义为$\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$ $L^2$

$$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$$ 在你的问题中，你假设这是因为我们想要 并且您将离散范数解释为一种正交规则，并且想知道为什么不使用非均匀网格更好的公式。 $$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$$

这种解释没有错，但不是唯一可能的。作为一名使用物理量而不是纯数字的工程师，我更愿意将离散范数视为 -欧几里得范数，其缩放方式使其在维度上与连续体范数一致。因此，如果我们可以证明，我们可以期望。如果没有比例因子，这将是不正确的。$\ell^2$$L^2$$\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$$\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

编辑：

我在这里删除了我的结论。请参阅沃尔夫冈的答案。

请注意，按比例缩放的欧几里得范数很容易计算，而您的建议有点不精确（作为正交公式可能会引起一些担忧）并且计算成本很高。

底线：离散的范数不是（不必是）并且近似于连续的范数，但可以简单地解释为缩放的 -欧几里得范数，在维度上与连续的范数一致。 $L^2$$\ell^2$$L^2$