计算科学 - Neumann 边界条件的傅里叶变换 - 吾爱随笔录

我需要数值求解两个耦合偏微分方程组。

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

系统的域是一个正方形区域。

边界条件：

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

我试图用傅里叶变换来解决这个系统。几次迭代后解决方案变得不稳定。我之前已经用有限差分方案解决了这个系统，它运行良好，所以我知道系统的常数非常好。

我的问题是傅里叶变换可以用来解这些方程吗？
我在某处读到，由于 Neumann 边界条件，无法应用傅立叶变换。这个对吗？
如果是的话，还有什么选择？（我已经读过应该使用余弦变换但想确认）。