假设您有一个 PDE 系统要求解。至少为了简单起见，让我们假设它是时间无关的、准线性的（其导数是线性的），在 (x,y) 空间中的矩形网格上求解，并且周围都指定了边界条件。我的问题更笼统，但让我们从这里开始。

可能有两个因变量和。一般方程可能为：$u(x,y)$$v(x,y)$

$$a(x,y) Y_{xx} + b(x,y) Y_{yy} + cY_{xy} + d(x,y) Y_x + e(x,y) Y_y = f(x, y, Y)$$

到的所有函数都是 2x2 矩阵，是 2x1 矩阵，是$a$$e$$f$$Y$

$$Y(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{pmatrix}$$

假设您想计算一个有限差分数值逼近。假设网格点在 x 和 y 上均匀分布。您可以将离散为个点，离散为个点。然后您将构建一个解决方案作为 2(nm) 列向量。$x$$N$$y$$M$

$$X = \begin{pmatrix} u_{11} \\ \vdots \\ u_{n1} \\ \vdots \\ u_{nm} \\ v_{11} \\ \vdots \\ v_{nm} \end{pmatrix}$$

然后，您将求解某种矩阵方程

$$(A + B + C + D + E)X = b,$$

其中 2nm x 2nm 矩阵到是对应微分算子的有限差分矩阵。括号中的组合矩阵将具有某种块状带状结构。由于边界条件，它们的边缘值可能很复杂。$A$$E$

我的问题很简单：是否有一种简单的方法（特别是在Matlab中）来生成矩阵到？或者至少，一个创建所有必要矩阵的简单指南（除了边界条件所需的修改，这可能是手动输入）。$A$$E$

问题是我可以手动完成，但它（i）很多代数；(ii) 在实施时会遇到很多错别字和错误。

例如，这是一个代码，它为您提供了用于不同阶导数的一维有限差分“矩阵”的所有必要向量。飞机上的 PDE 系统有类比吗？