计算科学 - 高阶 Lax-Wendroff 型方案？ - 吾爱随笔录

高阶 Lax-Wendroff 型方案？

计算科学流体动力学双曲-pde

2021-11-26 12:00:08

假设我们要求解一个双曲守恒定律 $u_t+f(u)_x=0$ . 我真的很喜欢使用 Lax-Wendroff，上面写着

$u_j^{n+1} = u_j^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}(g(u_{j+1}^n,u_j^n)-g(u_j^n,u_{j-1}^n))$

在哪里

$g(v,w) = \frac12(f(v)+f(w)) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}\vert\frac{f(w)-f(v)}{w-v}\vert^2(w-v)$

或为 $f(u)=au$ （线性平流），

$g(v,w)=\frac12a((v+w)-\frac{\Delta t}{\Delta x}a(w-v))$ .

我的问题：有没有类似的更高阶的东西？我不是在谈论那些花哨的高分辨率，（W）ENO，MUSCL，......方案 - 只是一个普通的三阶或四阶稳定方案，适用于任意 $f$ .

1个回答

那里有很多高阶方案。但根据戈杜诺夫定理，只有一阶方案可以是单调的，因此不会产生振荡。该资源简要介绍了有限差分方案的构造和分析。

在 REA (Reconstruct, Evolve, Average) 算法中，需要的阶多项式被重构，并且对应的变量值被插值在单元面。这给出了单元面的通量。（这与 $g(u_{j+{1}},u_{j})$ 脸部 $j + \frac{1}{2}$ 对于上述方案，其中一条直线是从小区平均值重建的）。

然后使用此通量更新单元格值。

Leveque 的书“双曲问题的有限体积方法”提供了有关此的详细信息。根据您选择的模板，您可以创建任意高阶方案。但是，如果它是一个高阶方案，那么在不连续附近总会有振荡。

高阶方案的其他来源是，

1）DRP方案（本文还讨论了任意高阶标准FD方案的制定）

2) 不连续/连续 Galerkin 方法（这些方法可以具有任意高的精度，但与 FVM 不同，重建发生在一个元素内。单元平均值不用于重建）

3) 光谱法

一些数值模式的资源，

1）“双曲问题的有限体积方法”，Randall Leveque

2）“计算气体动力学”，Culbert Laney（也很好地讨论了 ENO、MUSCL）

3）“流体动力学的黎曼求解器和数值方法”，EFToro

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