计算科学 - 如何直接计算病态密集矩阵的逆矩阵 - 吾爱随笔录

计算科学参考请求预处理条件数逆

2021-12-07 13:34:49

我知道直接计算逆矩阵通常是个坏主意。但是，如果需要计算病态可逆密集矩阵的逆矩阵，那么我可以尝试什么？

例如，我知道缩放矩阵可能会减少它的条件数。这可能是前置条件的一个例子，但我对前置条件的理论了解不多。

我也知道计算技术可以根据矩阵的属性而变化。本网站上发布的问题（例如1、2、3）有其特定的答案，而不是一般的答案。

但是我找不到计算逆的一般原理，因为我是这个领域的新手。我应该检查矩阵的哪些属性以减少条件数？是否有任何策略或任何书籍/论文可以解释更准确的方法来直接计算逆？

（我不知道是否有一个简短的答案。请随意关闭这个问题，因为它太宽泛了。）

1个回答

尽管实际上必须计算矩阵的逆是一种相对罕见的情况，但并非所有技术都是平等创建的。

我会使用badly-condition而不是ill-condition一词。对于条件较差的矩阵，您可以选择 SVD 路由来计算逆矩阵：

A = U Σ V^{H} ⟹ A^{- 1} = V Σ^{- 1} U^{H} .

$A=U\Sigma V^H \implies A^{-1}=V\Sigma^{-1}U^H.$ 如果你的矩阵

A

$A$ 实际上条件很差，你应该还能表演

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$ . 但是，您会立即看到一个问题：如果条件数很大（病态），则

σ_{1} / σ_{N}

$\sigma_1/\sigma_N$ 很大（

σ_{1}, \dots, σ_{N}

$\sigma_1,\ldots,\sigma_N$ 是的奇异值

A

$A$ ，构成对角矩阵的条目

Σ

$\Sigma$ ，在哪里

σ_{1} \geq σ_{2} \geq \dots \geq σ_{N}

$\sigma_1\ge\sigma_2\ge\ldots\ge \sigma_N$ ）。

这种方法还可以启用（并且由于 $^{-1}\to ^{+}$ ) 使用伪逆的概念 $A^{+}$ ：

A^{+} = V Σ^{+} U^{H}

$A^+=V\Sigma^{+}U^H$ 现在，只有非零元素

Σ

$\Sigma$ 是“往复的”，您可以根据一些容差（截断的 SVD）过滤掉太小的奇异值和奇异值。同样，这对原始问题的病态没有任何帮助，只是提供了一种计算应该以更准确的方式避免的东西的方法。

同样，一个更可靠的答案将是关于避免为病态问题计算逆的主题。

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