计算科学 - FEniCS：网格边界法线和切线方向的分离边界条件 - 吾爱随笔录

计算科学边界条件纳维斯托克斯芬尼克斯

2021-12-14 14:44:11

给定向量值 PDE，我想强制执行边界条件

\vec{n} \cdot u = g \vec{n} \cdot \nabla (\vec{t} \cdot u) = 0

$\vec{n}\cdot u = g\\ \vec{n}\cdot \nabla (\vec{t}\cdot u) = 0$ 关于解决方案

\vec{u}

$\vec{u}$ . 如果边界恰好与坐标轴之一对齐，我可以使用

bcs = DirichletBC(V.sub(0), g, 'on_boundary')

作为狄利克雷条件。但是，对于其他几何形状该怎么办？

2个回答

您可以为此使用 Nitsche 类型的方法。请参阅以下参考：

J. Freund，R. 斯坦伯格。关于二阶问题的弱边界条件。第九届国际会议记录。会议。流体中的有限元，威尼斯 1995 年。M. Morandi Cecchi 等人，Eds。第 327-336 页。

不久前，我在一些简单的 FEniCS 代码中实现了这一点，以处理一般二维几何中的自由滑动边界。在此处查找演示代码和此处的网格（使用 FEniCS 1.3 测试）。

圆柱凸块：通过 Nitsche 方法的自由滑移边界条件

更新：同时，其他人也提供了类似的实现。例如，参见这个github 存储库。

这可能引发的问题多于答案，但这是我认为应该做的。

让我们假设在边界点p，速度u定义为

u (p) = u_{1} ϕ_{k} (p) + u_{2} ϕ_{k + 1} (p),

$u(p) = u_1 \phi_k(p) + u_2 \phi_{k+1} (p),$

在哪里

ϕ_{k} = [\begin{matrix} ϕ \\ 0 \end{matrix}], ϕ_{k + 1} = [\begin{matrix} 0 \\ ϕ \end{matrix}]

$\phi_k = \begin{bmatrix} \phi \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \phi_{k+1} = \begin{bmatrix} 0 \\ \phi \end{bmatrix}$ 是对应 2D 中对应的节点基函数VectorFunctionSpace。

让

n = [\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \end{matrix}] and n_{⊥} = [\begin{matrix} n_{1} \\ - n_{2} \end{matrix}]

$n = \begin{bmatrix} n_1 \\ n_2 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad n_\perp = \begin{bmatrix} n_1 \\ -n_2 \end{bmatrix}$ 是边界处的法向量和切向量

p

$p$ . 那么与TrialFunction正常v分量相对应的将是

ϕ_{n} = n_{1} ϕ_{1} + n_{2} ϕ_{2}

$\phi_n = n_1\phi_1 + n_2\phi_2$ 和

ϕ_{t} = n_{1} ϕ_{1} - n_{2} ϕ_{2}

$\phi_t = n_1\phi_1 - n_2\phi_2$ 将对应于切向分量。

我不确定是否FEniCS允许重新定义TrialFunctionsorTestFunctions以及相应地调整DirichletBCs 的处理方式。

如果将组装的算子导出到矩阵，现在可以应用法线和切线边界条件 $p$ 如下。

将k第 -th 列替换为 $n_1$ 乘以k-th加 $n_2$ -times k+1-st 列（这就像我们有 $\phi_n$ 在试验空间而不是 $\phi_k$ ）。
将k+1-st 列替换为 $n_1$ 乘以k-th减 $n_2$ -times k+1-st 列（这就像我们有 $\phi_t$ 在试验空间而不是 $\phi_{k+1}$ ）。
那么第k-th 自由度v_k可以固定为边界条件的法向分量或k+1-st ( v_{k+1}) 为切向分量。
如果对称性是一个问题，可以对矩阵的列执行相同的操作。
然后将实际坐标中的解建立为
$u (p) = v_{k} n (p) + v_{k + 1} n_{⊥} (p) .$ $u(p) = v_kn(p) + v_{k+1}n_\perp (p).$

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