我正在研究激光照射的光学元件中的热扩散。我在这个问题中写下的 PDE 描述了这个问题。我正在使用隐式数值方案来模拟随时间演变的热量分布。

经过一段时间后，系统达到平稳分布（对应于热平衡）。该模型最有趣的特征之一是静止状态的非唯一性：如果我们从另一个初始分布开始，那么我们可能会来到另一个静止状态。

因此，我需要解决的任务之一是为给定的一组参数找到一组静止状态。

我正在使用以下算法解决它：我运行模拟，直到热量分布停止变化（当前和过去分布之间的差异小于给定的 epsilon）。因此，在找到一个稳态分布后，我会增加和降低激光功率以找到下一个稳态。通过改变给定参数集的初始分布，我计算了一组平稳分布。

但是，有两个问题。首先，要以给定的精度计算所需的集合，我需要在空间和时间上使用小步长、用于查找静止状态的小 epsilon 值以及激光功率变化的许多步长。这是非常计算密集的。

第二个问题是很容易错过一个分布或将一个算作两个，我不确定是否还有其他分布是我的算法找不到的。

那么，我应该考虑使用哪些算法，而不是仅仅使用隐式方案并等到平衡建立？有两个重要的案例：

• 存在一种可能的静止状态，任务就是以给定的精度和最少的计算量找到它

• 有一组可能的平稳分布，任务是找到它们。