我正在为我的博士研究一个逆问题。研究，为此我将目标函数写为

$J(\theta) = E(G(\theta) - u^o)$，

其中是参数，是从参数到观察的前向映射，是观察，是误差的一些度量。前向映射来自求解一个椭圆 PDE，其中是一个系数，为了明确起见，我们将其称为 Poisson 方程：$\theta$$G$$u^o$$E$$G$$\theta$

$-\nabla\cdot ke^\theta\nabla u = f$。

一般来说，我会说从到的前向映射相当于求解非线性系统。到目前为止，我一直在使用伴随方法解决这个问题。这也可以写成一个有约束的优化问题$\theta$$u$$F(u, \theta) = 0$

$J(\theta; u, \lambda) = E(u - u^o) + \langle F(u, \theta), \lambda\rangle$

但在计算上，所有程序都是相同的。

两种公式都没有利用的事实是，前向映射本身就是另一个优化问题，即泊松方程的解是狄利克雷能量的最小值$u$

$D(u, \theta) = \int_\Omega\left(\frac{1}{2}ke^\theta|\nabla u|^2 - fu\right)dx$。

这个逆问题可以重新表述为目标对 ,的多目标优化问题吗？$\{E(u - u^o)$$D(u, \theta)\}$如果是这样，这是否有用，无论是用于计算目的还是用于证明事物？

我对多目标优化了解不多，因此参考任何有用的文献都会有所帮助。在谷歌搜索多目标优化和逆问题时，我所能找到的只是一堆关于遗传算法的论文。