我想通过使用广义 Vandermonde 矩阵来构建有限元基础。这个想法是在参考空间中的一组点处计算合适的模态基（“素基”）的值，并将有限元基函数的值表示为素基成员的线性组合，如参考文献 [1] 或 [2]。

我有以下问题。三角形/四面体的主要选择基础是 Dubiner 基础并使用 Jacobi 多项式。当我评估这个基础时，Vandermonde 矩阵中的一些条目几乎为零（~ 10^-17），但看起来它们实际上应该完全为零。稍后，当我使用 Vandermonde 矩阵计算拉格朗日形状函数的值时，一些结果值再次受到轻微扰动。这样做的结果是，某些点的所有拉格朗日形函数之和不完全为 1，导数之和也不完全为 0。

我想知道是否有人遇到过这样的问题，是否有补救措施。我在书籍和谷歌上搜索，但没有成功。由于我想在 CFD 代码中使用高阶形状函数，我担心形状函数评估中的错误会引入不稳定性。

提供一些实现细节：我以两种不同的方式在 C++ 中实现了 Dubiner 模式的计算：

a) 如 [1] 和 [2] 中所述，使用 Jacobi 多项式的递归公式“直接”实现。由于折叠坐标变换中的奇点，这在参考三角形的顶点 (-1,1) 处会失败。

b) [3] 中描述的“解决方法”实现。根据本文的观察，b) 得到的误差略小于 a) 的情况。

[1] Jan S. Hesthaven，Tim Warburton：节点间断 Galerkin 方法：算法、分析和应用

[2] George Em Karniadakis、Spencer J. Sherwin：计算流体动力学的光谱/hp 元素方法

[3] Robert C. Kirby：折叠坐标正交多项式的无奇点评估