让我试着解释一个非常简单的论点。

具有分段线性形状函数的 3D 元素可以准确地表示恒定应变解。（考虑例如贴片测试。） 粗略地说，这意味着当精确解出现应变梯度时，必须调整网格尺寸，以使单个单元的应变不会发生太大变化。这也适用于六面体元素，其中一些线性项出现在应变表达式中：但是线性六面体元素不能准确地表示任意线性应变场。

如果我们承认在极薄板的极限处 3D 解接近Kirchhoff-Love 板解，那么我们有一个非常特殊的情况：面内方向上的温和应变梯度$x_1, x_2$，但在横向（厚度）方向上的梯度非常陡峭：请记住应变（应力）会改变符号$x_3$.

现在应该清楚的是，这种应变/应力状态不能由$x_3$方向。

换句话说，对于薄板 (Kirchhoff-Love)，最简单的应变解决方案是恒定曲率$\kappa$: 没有渐变$x_1, x_2$，但梯度等于$\kappa$沿着$x_3$平面内纵向应变的$\varepsilon_{11}$,$\varepsilon_{22}$和消失的横向剪切应变$\gamma_{13}=\gamma_{23}=0$. 粗网格应该能够表示“简单应变”状态，但这对于线性单元是不可能的：事实上，正如比尔格林指出的那样，有可能有$\varepsilon_{11}$和$\varepsilon_{22}$线性跨越$x_3$，不可能同时满足横向剪应变消失条件。这些虚假的剪切染色有时被称为“寄生的”。

结果，近似的弹性应变能是错误的，有限元贴片（在完全积分的假设下）表现出比预期更大的刚度。通过计算精确解的弹性应变能，并与单单元跨厚度贴片的弹性应变能进行比较，可以很容易地得出这一点。

顺便说一句，这是一种常见的情况，具有任何 FE 近似值。实际上，使弯曲问题变得病态的是这样一个事实，即对于厚度方向上的单个线性元素$x_3$，应变能以寄生横向剪切变形为主，因此位移分量被严重低估。

解决这个问题的方法是

• 结构元素（板/壳），其中 Kirchhoff-Love 或 Reissner-Mindlin 理论被结合为假设的位移场。（梯度在$x_3$方向正是由这个假设建模的。）

• 厚度中更多的线性元素（超过 5 个）或使用更高阶的元素，以便更好地捕捉线性应变/应力梯度$x_3$，没有引入寄生剪切应变。

• 选择性减少积分，这相当于将横向剪切场与单元质心处的单个高斯点（寄生剪切场消失的地方）积分，同时仍将其他项与更多高斯点积分。

最后的笔记

感谢比尔格林批评了我的第一个（简单化）答案并强迫我写一个更长（我希望也更好）的答案。我无意对网格锁定现象进行完整说明，这些现象在文献中确实得到了很好的理解和描述。

我仍然相信，在不深入了解剪切锁定的全部细节的情况下，解释这种现象的起点应该是观察到，对于纯弯曲，薄板的极限解在厚度方向上具有非常高的应变梯度，与飞机上的。线性元件的应变是“恒定的”。六角元素的线性应变来自$x_1\cdot x_3$（和类似的混合项）：缺乏平方项（如$x_1^2$) 实际上使得无法正确解耦剪切应变和纵向应变......

您只需要一个不显示剪切锁定的有限元。有基于 Mindlin 模型实现此类元素的软件：

http://members.ozemail.com.au/~comecau/plate_analytical.htm

本软件由我司开发；但是这里不可能提供程序中实现的方法的完整数学细节。作为替代方案，您可以考虑使用下一本书中使用的方法（它专门用于壳单元，即曲面，并且基于 Kirchhoff-Love 几何假设；不过，该单元也没有表现出剪切锁定，并且您可以考虑根据您的目的调整该元素）：

http://www.amazon.com/Computational-Geometry-Surfaces-Application-Analysis/dp/0646930818

就剪切锁定而言，还有一件事需要考虑。在板壳理论中，位移（挠度）场是定义力学行为的所有其他参数的主要函数。节点的旋转代表位移的一阶导数；弯矩是二阶导数；剪切力对应于三阶导数。很明显，如果不使用足够高阶的多项式对偏转进行插值，则根本无法以任何可接受的精度评估剪切力。