具有平流-扩散方程的开放边界条件

计算科学 pde 有限差分 边界条件 平流 扩散
2021-12-11 19:06:25

继我之前的方程之后,我想将开放边界条件应用于对流扩散方程(带有反应项),

ϕt=x(Dϕx+v(x)ϕ)+S(x,t).

我将“开放”定义为允许不受阻碍地传输的边界,无论是通过扩散还是漂移。

我不确定如何在数学上说明这个问题。我是否会强制开放边界采用由初始条件固定的狄利克雷边界条件?此外,这将定义一个值永远不会改变的节点。这似乎不正确。

3个回答

在我看来,这不是一个简单的问题。这就像你在一个盒子里做一个实验,你只想模拟它的中心。但显然,盒子中心的解决方案取决于盒子其余部分发生的情况。这可能就是为什么它是一个难以陈述的问题。

我对这个问题没有明确的答案,但我仍然有一些线索,希望你能找到合适的解决方案。(我不是任何这些解决方案的专家)

  • 第一个想法是用降阶模型对“盒子”的剩余部分进行建模。例如,您可以为域的两个末端插入一个 ODE,它应该代表框其余部分的行为。这是一种有时用于在血流模拟中“结束”血管的技术+您可以很容易地想象这个问题是正确的。您也可以对传入波进行建模。它适用于 FEM,也可能适用于 FD。-如果在文献中找不到,您必须找出 ODE。
  • 第二种选择是使用吸收边界条件这些都是棘手的条件,应该吸收从域外流出的信息(有时也用于血流)。如果你用谷歌搜索“吸收边界条件平流扩散”,你应该找到一些关于它的论文+它(应该)产生你正在寻找的效果。-我认为它是为 FEM 开发的,所以我不知道它是否适用于 FD。
  • 我看到的第三个选项是Bill Barth 提出的,这是一个“无边界”条件它包括将 PDE 延长到边界并且不强加任何东西。+在 FEM 上下文中,它很容易实现并且“令人惊讶”地工作得很好(我确实尝试过它们用于流体流动,在稍微不同的上下文中)。-我认为很难证明问题是恰当的(即使离散问题是)。它适用于 FEM,不确定 FD。

希望能帮助到你!(还有祝你好运)

我所知道的解决这个问题的最佳方法是Griffiths

这种情况的确切边界条件不是局部的。相反,它的形式是

u(x,t)|Γ=ΓtQ(x,t,y,s)u(y,s)dsdy,
即,它是一个(空间和时间上)具有内核的非局部运算符Q. 在一些有趣的情况下,您可以将此运算符编写为伪微分运算符,并且只取前几项来获得局部的东西。然而,这些只是近似值。