高阶方法最突出的缺点是当解不平滑时，高阶方法会出现龙格现象。这些振荡通常被非正式地称为“不稳定”。

实施困难，尤其是边界复杂的情况，可能是除效率之外的第二大影响因素。许多达到高阶的方法在计算上是不切实际的，尽管某些类别（例如，光谱元素）可能非常有效。非常高阶 FD 方法最常用于常规域中的DNS。

作为 Jed 帖子的扩展，高阶有限差分方法通常不仅基于直接邻居，而且还基于远处的其他节点来计算一个节点的值。如果当前节点靠近边界（无论边界是否规则），这是一个问题：在这种情况下，当前节点的最近邻居可能是边界节点，在这种情况下，如果您知道它的值具有狄利克雷边界条件，但当前节点所依赖的较远节点可能不再位于域内。当你需要这些节点的值时你会怎么做？

另一个问题是模板相当大，因为它们耦合了很多节点。这意味着矩阵比低阶方法更稀疏，从而增加了求解线性系统的计算量。

根据你的顺序有多高，你会遇到很多令人沮丧的困难。秩序的导数$N$多项式增长为$N^2$（请参阅马尔可夫不等式以使其更精确），并且这些大梯度（主要靠近元素的边界）通常会导致离散化中的虚假大特征值，使您必须解决可能在物理上没有意义的非常精细的尺度振荡首先。因此，尽管收敛的形式顺序更高，但在高阶机制中的有效实施并不那么简单。

此外，简单地计算离散导数算子也很困难。80 年代和 90 年代初的许多文献都在高阶差分矩阵的稳定计算上投入了大量精力。算子可能是高度非正态的，导致大量难以预测的数值垃圾。

我认为很多这些问题现在已经得到了很好的解决，但这只是意味着做更多的工作来让高阶变得有价值。