计算科学 - 耦合常微分方程的稳定性分析 - 吾爱随笔录

耦合常微分方程的稳定性分析

计算科学稳定

2021-12-06 20:23:23

给定一个前向近似值，我有耦合方程：

\frac{T^{(n + 1)} - T^{(n)}}{Δ t} = x T^{(n)} - y h^{(n)} \frac{h^{(n + 1)} - h^{(n)}}{Δ t} = - z h^{(n)} - α T^{(n)}

$\frac{T^{(n+1)} - T^{(n)}}{\Delta t} = x T^{(n)} - y h^{(n)} \\ \frac{h^{(n+1)} - h^{(n)}}{\Delta t} = -z h^{(n)} - \alpha T^{(n)}$ 在哪里

x, y, z

$x, y, z$ 和

α

$\alpha$ 是常数，我从我的模拟中看到解是阻尼的。但是我如何使用冯诺依曼分析来找到放大因子

A

$A$ ?

1个回答

您可以将有限差分方法重写为形式

\begin{aligned} [\begin{matrix} T^{t + 1} \\ h^{t + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} T^{n} \\ h^{n} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}]}^{n} [\begin{matrix} T^{0} \\ h^{0} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align}\left[\begin{matrix} T^{t+1} \\ h^{t+1}\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} T^n\\h^n\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right]^n\left[\begin{matrix} T^0\\h^0\end{matrix} \right] \end{align}$

这样改写，你会发现矩阵 $A$ 变成

A = I + Δ t J,

$A=I+\Delta tJ,$ 在哪里

I

$I$ 是单位矩阵和

J

$J$ 是您原始系统的 RHS 的雅可比。

A

$A$ 可以认为是放大矩阵，其特征值决定了数值系统的稳定性。为确保绝对稳定性，需要在复向量空间中找到一个区域，使得光谱半径

ρ (A) < 1

$\rho(A)<1$ （即主要特征值小于一）。

当然，由于这是一个ODE 系统，因此您需要格外小心。稳定性和一致性可能不足以确保准确的解决方案。您还需要检查Stiffness。

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