给定迭代方法：$x_{n+1}=0.7\sin x_n +5 = \phi(x_n)$寻找解决方案$x=0.7\sin x +5$, 我想估计$|e_6|=|x_6-r|$尽可能好，与$x_0=5$， 在哪里$r$是精确的解决方案。这种方法显然收敛，因为$\phi$是收缩映射，所以$r=\phi(r)$是一个固定点。所以，用中值定理：

$|e_{n+1}|=|x_{n+1}-r|=|\phi(x_n)-\phi(r)|\le \max_{c\in\mathbb{R}}|\phi'(c)|\cdot |x_n-r|$

我们有：

$|e_n|\le 0.7^n \cdot |e_0|$

但我不知道我该如何估计$|e_0|$没有电脑？我想有一些简单的方法可以完成它并通过巧妙的观察$|e_0|\le 0.7$. 有人可以帮忙吗？