写完这篇文章，让我也回答你的问题:-)

这个问题本质上归结为以下几点：给定一个函数$u(x)$及其插值$u_h(x)$到具有相同数量未知数的三角形或四边形网格上，那么两者中哪一个更准确？换句话说，是

$$\| u - I_h^\text{triangles} u \| < \| u - I_h^\text{quads} u \|,$$ 或者是周围的其他方式。我们知道，阶（在中）的多项式时 )。问题只是两者中哪一个具有较小的插值常数。在实践中，答案是上面的不等式通常是错误的，以下是经验上正确的： 换句话说，四边形上的额外多项式允许 10 倍更好的近似值。（我相信您可以找到反例；这只是对 PDE 的“典型”解决方案的经验观察。）${\cal O}(h^{p+1})$$p$$L_2$ $$\| u - I_h^\text{triangles} u \| \approx 10 \| u - I_h^\text{quads} u \|.$$ $xy$

我完全同意 Wolfgang 的回答，但我想补充一些我的经验。我最近不得不在基于三和四的 FEM 之间进行选择，在谷歌搜索之后，我决定从头开始编写代码以进行公平比较（我以前有编写 FEM 内核的经验。我使用 C++ 和 Eigen 库来编写矩阵和向量。我只考虑了笛卡尔网格）。

Wolfgang 的答案似乎也适用于我的案例（简单的平流扩散问题），所以我可以确认这一点。但是，“相同的工作量”并不完全正确。为了进行真正的错误比较时间，我们还需要考虑其他差异。

• 正交点的数量可能不同。在我的情况下，三积分有 1 分，而四积分有 4 分。这使得基于 tri 的 FEM 的装配过程中的正交节点减少了两倍。但是，这取决于手头的问题。
• 对于这两种方法，结果矩阵中非零条目的数量是不同的。对于具有三角形的类笛卡尔网格，内部自由度通常与其他 6 个自由度耦合，而对于四边形，它与其他 8 个自由度耦合。这使得组件更加昂贵，并且还可能影响线性求解器，具体取决于使用哪一个。
• 对于迭代求解器，基于四边形的 FEM 的线性系统（令人惊讶的是？）比基于三边的（给定容差的迭代次数更少）更容易。我使用了基于 ILUT 预处理的基于 Krylov 的求解器（不记得到底是哪一个）。我不知道这是一般问题还是特定问题，但这就是我所看到的。

最后，我仍然发现基于四边形的 FEM 比较快，但是这个因子肯定小于 10，如果我没记错的话，大约是 3（这个数字当然取决于具体的实现和问题）。

基于四边形的 FEM 的另一点是，如果您想考虑高阶或“高”维 (>2) FEM，它更容易实现。

希望这是有用的！