计算科学 - 如何实现牛顿法求解后向欧拉法中的代数方程 - 吾爱随笔录

计算科学颂隐式方法牛顿法

2021-12-07 00:43:45

你能解释一下后向欧拉方法是如何工作的吗？我已经看过公式并尝试理解该方法，但我无法理解的是为什么以及如何使用 Newton-Rapson 方法。

你有一个好的教程的链接吗？可以帮助我以图形方式理解它的东西吗？

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根据保罗所说，请您告诉我以下内容是否正确？

柯西问题是这样的

u (t) = f (u (t), t) where f (u (t), t) = u^{'} (u (t), t)

$u(t) = f\big ( u(t), t \big ) \quad \text{where} \quad f\big ( u(t), t \big ) = u'\big ( u(t), t \big )$

然后，根据保罗给出的例子，我会有类似的东西：

u^{'} (t) = [u (t)]^{3}

$u'(t)=\big [u(t) \big]^3$

现在，反向欧拉方法如下：

u_{t + 1} = u_{t} + h f (u_{t + 1}, t + 1) not really sure about this

$u_{t+1} = u_t + hf\big ( u_{t+1}, t+1 )~~~~~~~~~~\text{not really sure about this}$

所以对于和我应该有以下 $t = 0$ $h = 1/2$

u_{1} = u_{0} + \frac{1}{2} (u_{1})^{3}

$u_1 = u_0 + \frac{1}{2}(u_1)^3$

对于这个方程，我必须在下一次之前通过 Newton-Raphson 求解： $t = 1$

u_{1} - u_{0} - \frac{1}{2} (u_{1})^{3} = 0

$u_1 - u_0 - \frac{1}{2}(u_1)^3 = 0$

从这里我不知道该怎么办，如何使用牛顿法？？

更新

我想我终于明白了。从落后的欧拉方法我有：

u_{t + 1} = u_{t} + h f (u_{t + 1}, t + 1)

$u_{t+1} = u_t + hf(u_{t+1}, t+1)$

这可以看作（就像每个人告诉我的那样）：

F (u_{t + 1}) = u_{t + 1} - u_{t} - h f (u_{t + 1}, t + 1) = 0

$F(u_{t+1})= u_{t+1} - u_t - hf(u_{t+1}, t+1) = 0$

其中所以我有 $u_{t+1} = x$

F (x) = x - u_{t} - h f (x, t + 1) = 0

$F(x)= x - u_t - hf(x, t+1) = 0$

现在我看到了一种熟悉的方法来使用牛顿法（或任何其他方法）来找到 $x$

2个回答

形式的微分方程，其中不一定是 u 中的线性函数。当 f 为非线性时，反向欧拉法会产生一组非线性方程，每个时间步都需要求解。因此，可以使用 Newton-raphson 来解决它。 $u_t =f(u,t)$ $f$

例如，取

\frac{d u}{d t} = u^{3} (t)

$\frac{du}{dt}=u^3(t)$

后向欧拉导致

\frac{u_{t + 1} - u_{t}}{Δ t} = u_{t + 1}^{3}

$\frac{u_{t+1}-u_{t}}{\Delta t}=u_{t+1}^3$

由于无法直接求解，因此必须通过数值方案对其进行估计。这就是 newton-raphson 发挥作用的地方。重新排列这个方程，使 RHS=0，我们得到 $u_{t+1}$

\frac{u_{t + 1} - u_{t}}{Δ t} - u_{t + 1}^{3} = 0

$\frac{u_{t+1}-u_{t}}{\Delta t}-u_{t+1}^3=0$

现在，我们可以应用牛顿法求这个方程的根，这又成为下一个时间步长的微分方程的解。 $u_{t+1}$

正如您所说，您知道，向后欧拉是使用以下方程式的时间前进： $U_{t+\Delta t} = U_{t}+ U'(t,U_{t+\Delta t}) \Delta t$ .

您不能明确评估 $U'_{t+\Delta t}$ 因为你不知道 $U_{t+\Delta t}$ . 为了更清楚，等式是：

$X = U(t) + U'(t,X)\Delta t$

因此，您必须使用某种方法（在您的案例中使用 Newton-Raphson）求解 X 的方程（在下一个时间步是 U）。

至于图形解释，想想你的标准欧拉。那里的想法是您正在获取当前值 $U$ 及其在当前时间的导数，并假设它对于一些小的时间变化几乎是线性的（ $\Delta t$ ）。所以你正在画一条直线 $U(t)$ 在一个斜坡上 $U'(t)$ .

对于向后的欧拉，您所做的就是使用直线近似末端的斜率而不是它的起点。至于您为什么要这样做，这是一个更复杂的答案，涉及您的解决方案的稳定性。

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