非结构化三角形网格上热方程的一阶有限体积空间离散

计算科学 抛物线pde 非结构化网格
2021-12-05 01:09:57

考虑一个标量场u在每个面上恒定的非结构化三角形网格上。Ai是三角形的面积Ti,N(i)一组三角形共享一条边Ti, 和Lij之间的边长TiTj. 我想要热方程的最简单的空间离散化

ut=kΔu
自然的选择是
Aiduidt=kjN(i)Lijujuihij
在哪里hij测量三角形的“相距多远”。

问题:什么是好的选择hij? 特别是,在存在钝角/窄三角形的情况下,是否存在表现合理的选择?

2个回答

如果网格不是“正交的”,则像这样的两点通量不会收敛,即两个单元之间的边缘/面与连接单元质心的线段正交。如果您的网格是正交的,您将使用质心之间的距离hij多于。

如果您想要一种方法在以单元为中心的有限体积框架内处理更一般的网格,您必须做一些额外的工作。一种经典的方法是重建内部单元格,如这些注释中的概述。这不是很稳健,尤其是在存在不规则系数的情况下。

另一种选择是考虑使用 BDM-1 空间(恒定压力,面/边上的线速度)的混合有限元方法,并选择由每个顶点一个点组成的简化正交。这种特殊的求积导致速度质量矩阵是块对角矩阵,每个顶点一个块,因此可以消除速度自由度,使您返回以单元为中心的非混合公式。Wheeler 和 Yotov (2006)的图 2.3 对此进行了说明

自由度的相互作用

消除速度后,以细胞为中心的算子为 SPD,细胞只耦合到与其共享顶点的其他细胞,这比前面提到的梯度重建方法更稀疏。使用这种方法,压力是二阶超收敛,细胞中心和速度是一阶收敛,即使在不规则网格上也是如此。如果网格在O(h2)仿射,速度在面心也是二阶超收敛的。这种方法自然地处理一般的张量值系数。这种方法是一种多点通量近似

众所周知(参见Edwards的第 10 页),规则四边形网格的 9 点方案对于一般张量值系数不能是单调的。保持单调性的一种方法是使用非线性离散化

如果你使用具有分段常数形状函数的不连续 Galerkin 方法,你最终会得到一个和你一样的方案。如果需要,它提供了一种构建权重的系统方法以及更高阶的方案。