正如您所建议的，二进制表示有效，因为二进制数与$d$数字可以被认为是表示顶点坐标的向量$d$维超立方体。现在请注意，可以通过平均两个（相邻）顶点的坐标来获得边缘中点的坐标，并且可以通过平均两个边缘中点的坐标来获得人脸中点的坐标。

这建议使用三元（以 3 为底）系统，每个数字等于 0、1 或 2。考虑一个超立方体，其体积是区间的张量积$[0,2]$. 那么顶点的坐标都是$d$-digit 三进制数，每个数字等于 0 或 2。边缘中点坐标都是$d$-digit 三进制数，一位等于 1，其余位等于 0 或 2。人脸中点坐标都是$d$-digit 三进制数，其中两位等于 1，其余数字等于 0 或 2。这以明显的方式扩展到面的更高维类似物。

例如，立方体的顶点($d=3$） 是

(0,0,0)
(0,0,2)
(0,2,0)
(2,0,0)
(0,2,2)
(2,0,2)
(2,2,0)
(2,2,2)

边缘是_

(0,0,1)
(2,0,1)
(0,2,1)
(2,2,1)
(0,1,0)
(2,1,0)
(0,1,2)
(2,1,2)
(1,0,0)
(1,0,2)
(1,2,2)
(1,2,0)

脸是_

(1,1,0)
(1,1,2)
(1,0,1)
(1,2,1)
(0,1,1)
(2,1,1)

考虑这些坐标甚至给出了一种简单的方法来确定$n$- 一张脸$d$维超立方体。这些对应所有$d$-digit 三进制数$n$位数等于 1，其余位数等于 0 或 2，因此有。$2^{d-n}\cdot {d\choose{n}}$

我没有解决的两件事是：

1. 订购；格雷码的巧妙之处在于列表中相邻的顶点在空间上是相邻的。我认为您可以通过我描述的表示使用类似于 Gray 的方法来实现这一点，但问题没有具体提到排序，所以我并不担心。

2. 如何编码。这更像是一个编程问题，应该不会太难。

除了标记所有边缘和面之外，我还发现在相同的上下文中还有其他重要的问题：

• 以某种特定方式对它们进行编号。deal.II 使用编号，我们首先考虑所有平行于 x 轴的边，并按它们的 y、z 值（0 或 1）按字典顺序对它们进行排序，然后是所有平行于 y 轴的边和按 x、z 值等对它们进行编号。

• 至于总数：在1d中，有ne_1=1条边。在 2d 中，正方形是通过在 y=0 和 y=1 处复制 1d 线两次形成的，形成两条线，但是我们还必须连接旧线和复制线的所有 nv_1=2 顶点，所以 ne_2=2* ne_1+nv_1=2+2=4。然后通过复制两个正方形并连接所有顶点来构造立方体，因此ne_3=2*ne_2+nv_2=2*4+4=12。你得到递归。