机器算法验证 - 简化具有相同 n 的组合的总和，k 的所有可能值 - 吾爱随笔录

机器算法验证组合学

2022-01-20 21:58:27

有没有办法简化这个方程？

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

或者更一般地说，

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

2个回答

看

它说

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

您可以使用 $x=y=1$ 的二项式定理来证明这一点。

现在，因为 $\binom{n}{0} = 1$ 对于任何 $n$ ，它遵循

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

在你的情况下 $n=8$ ，所以答案是 $2^8 - 1 = 255$ 。

在家工作？

暗示：

记住二项式定理：

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

现在，如果你能找到 x 和 y 使得 $x^ky^{n-k}$ 是常数......

其它你可能感兴趣的问题