计算科学 - 静电问题的边界条件 - 吾爱随笔录

我正在解决由拉普拉斯方程控制的静电问题在以下域中：带有圆柱形夹杂物 ( )，其中 - 电阻率， - 电位。有两个平面电极连接到砖的相对面上。

- \nabla \cdot (ρ^{- 1} \nabla u) = 0

$-\nabla \cdot (\rho^{-1} \nabla u) = 0$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

ρ

$\rho$

u

$u$

在顶面和底面上定义狄利克雷边界条件：在砖块的其他面上，齐次 Neumann 边界条件是握住。

u |_{\partial Ω_{t o p}} = u_{1}

$u|_{\partial\Omega_{top}} = u_1$

u |_{\partial Ω_{b o t t o m}} = u_{2}

$u|_{\partial\Omega_{bottom}} = u_2$

ρ^{- 1} \frac{\partial u}{\partial n} |_{\partial Ω_{s i d e}} = 0

$\rho^{-1}\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial\Omega_{side}} = 0$

如果夹杂物严格在砖内，一切都很好。这是带有等值线的电位分布的 2D 视图。

圆柱体位于砖内的情况下电位分布的二维视图

当包容性穿过砖块时，我对这种情况很感兴趣。在这种情况下，它穿过顶面和底面，它们由两个子域组成。

如果我对两个子域施加与前一种情况相同的边界条件，我会得到以下潜在分布：

圆柱穿越砖情况下电位分布的二维视图

我认为这是错误的。因此我想问 - 我应该改变什么以获得正确的解决方案 - 顶部/底部面上的边界条件，还是其他什么？

参数： , , , $\rho_{\Omega_1} = 10^6 (Ohm \cdot m)$ $\rho_{\Omega_2} = 10^{-3} (Ohm \cdot m)$ $u_1 = 1 (V)$ $u_2 = 0$

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为什么我认为我在第二种情况下得到的结果是错误的。我正在解决的任务是关于非导电（或低导电）介质中的导电夹杂物的任务。有人告诉我，导电体中没有电场，因此那里的静电势是恒定的。当夹杂物完全在砖内时，这可以从第一次模拟的结果中看出。我希望在第二种情况下电场的行为相同。但这不会发生。导电和非导电介质的电位变化相等，整个域的电场相同。因此，我认为那里有问题。如果有人能说我使用的模型是正确的，我会很高兴，但我只是在解释我的结果时错了。

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我感谢所有参与讨论我的问题的人。但答案的主要部分是解释在第二种情况下（当包含穿过砖块时）问题的解决方案是我提供的边值问题的正确解决方案。我同意所有这些答案。正如@StefanoM 所说，“第二个问题很简单，不需要 FEM 代码来解决”。我 100% 同意这一点。但正如@StefanoM 明智地注意到的那样，“人们永远不应忘记，唯象方程基于许多简化假设，如果这些假设不正确，则无法应用”。因此，让我担心的主要问题是——我要解决的问题的正确模型是什么？也许我需要另一个方程，或者某个地方的另一个边界条件。当计算域由两个具有不同电阻率的子域组成时，任何人都可以提出正确描述静电问题的模型，尤其是在导电夹杂物通过非导电介质的情况下。我从圆柱形夹杂物开始，因为它是最简单的情况。事实上，我需要处理更复杂的域（包含），因此我确实需要使用 FEM 代码。